Матпраздник 2023 год · учебный сезон 2022/23 · Математика · 6 кл., №4

Условие

Разрежьте «печенье» на $16$ равных частей (т. е. одинаковых по размеру и по форме). Разрезы не обязательно прямолинейные.

Рисунок к условию

О задаче · 6 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2023 (учебный сезон 2022/23)
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Вариант: Классический

Сначала посчитай, сколько клеток и полукругов должно достаться каждой части. Потом попробуй резать: в модели «Разрежь печенье» нажимай на границы между квадратиками или веди пальцем из одной части в соседнюю — граница станет полукругом. Модель покрасит одинаковые части одним цветом.

Ответ — рисунок разрезания на 16 одинаковых частей. Проверь, что все 16 частей одинаковые и по размеру, и по форме.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРазрежь печенье

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Разрежь печенье

В модели печенье разделено на 16 квадратиков 2×2. Каждую границу между ними можно резать прямо или полукругом в одну из сторон. Добейся, чтобы все части стали одинаковыми.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Перерисуй печенье на клетчатой бумаге: квадрат 8×8 и по четыре полукруга на каждой стороне. Раздели его на квадратики 2×2 и между ними рисуй полукруглые разрезы. Проверь у каждой части: 4 клетки и один полукруг.

Подсказка 1

Посчитай площадь: сколько клеток и сколько полукругов во всём печенье? Значит, сколько клеток и полукругов в одной части? А откуда возьмутся полукруги у частей в середине печенья?

Подсказка 2

Каждой части нужно $4$ клетки и один полукруг. Разрез по полукругу даёт одной части выпуклость, а соседней — такую же вогнутость. Попробуй части вида «квадрат $2\times 2$ две выпуклости и одна вогнутость» — в углу у части уже есть две выпуклости.

Разобрать решение по шагам

Сколько достанется каждой части

В «печенье» квадрат $8\times 8$ — это $64$ клетки, и ещё по краям $4\cdot 4=16$ одинаковых полукругов. На $16$ равных частей приходится по

64:16=4 \text{ клетки} \quad\text{и}\quad 16:16=1 \text{ полукруг}.

Так что естественно взять за основу квадратики $2\times 2$ (их как раз $16$ ) и подумать, как раздать полукруги.

Откуда полукруги в середине

Угловой квадратик касается края двумя сторонами — у него уже две выпуклости. Квадратик у края (не в углу) имеет одну. А четыре квадратика в середине не касаются края совсем.

Поможет разрез по полукругу между соседними квадратиками: одна часть получает выпуклость, а соседняя — такую же вогнутость. Площади при этом просто переходят от одной части к другой.

Какой должна быть каждая часть

У каждой части площадь должна быть «квадрат и один полукруг», то есть выпуклостей на одну больше, чем вогнутостей.

Угловая часть уже имеет две выпуклости. Чтобы площадь была правильной, ей нужна ещё одна вогнутость, а четвёртая сторона — прямая. Раз все части одинаковые, каждая часть такая: две выпуклости на соседних сторонах, одна вогнутость и одна прямая сторона.

Разрезание

Раздадим выпуклости и вогнутости так, чтобы у каждого квадратика их было по две и одна, как на рисунке. Начинаем с углов: угловой части даём вогнутость со стороны соседа вдоль края — значит, у соседа там выпуклость; ему для пары не хватает ещё одной вогнутости — делаем её со стороны внутреннего квадратика, и так далее.

Проверь по рисунку: у каждой из $16$ частей ровно две выпуклости на соседних сторонах, одна вогнутость и одна прямая сторона. Части одинаковые: одну можно наложить на другую, повернув, а некоторые — ещё и перевернув.

Разрезание на 16 равных частей. Каждая часть — квадратик 2×2 с двумя выпуклостями на соседних сторонах, одной вогнутостью и одной прямой стороной. Одна часть выделена.

Проверка

Проверим двумя способами. По рисунку: у каждой части выпуклостей $2$ вогнутостей $1$ значит, площадь — $4$ клетки и один полукруг; две выпуклости всегда на соседних сторонах, вогнутость рядом с одной из них. На компьютере: каждая часть нарисована как фигура на мелкой сетке, и программа проверила, что все $16$ фигур совпадают при поворотах и переворотах. Тот же перебор показал: если части — квадратики $2\times 2$ с полукруглыми разрезами, то без переворачивания разрезать не получится, а с переворачиванием подходит именно такая форма частей.

Ответ

Разрезать можно, например, как на рисунке: каждая из $16$ частей — квадратик $2\times 2$ с двумя выпуклыми полукругами на соседних сторонах, одним вогнутым полукругом и одной прямой стороной.

Ответ

Главная идея

Сначала считаем площадь: каждой части — $4$ клетки и один полукруг. Части в середине получают полукруг из разреза по полукругу, при этом соседняя часть получает вогнутость. Угловая часть подсказывает форму всех частей: две выпуклости, одна вогнутость и одна прямая сторона.

Признаки: фигуру нужно разрезать на равные части, и в ней есть «лишние» куски (полукруги, выступы). Посчитай, сколько таких кусков достаётся одной части, и посмотри на самую «неудобную» часть — угловую или центральную: она часто подсказывает форму всех частей.

Где легко ошибиться

Резать только прямыми линиями: тогда в середине останутся квадратики без полукругов. Ещё одна ошибка — дать части две выпуклости и не сделать вогнутость: площадь станет больше нужной.

Источник и авторство

Математический праздник 2023 года · классический вариант · 6 класс, задача 4 [6 баллов] · автор задачи Т. И. Голенищева–Кутузова.

Условия 2023 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 6 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника, рисунок перерисован по оригиналу. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Ответ — рисунок; разрезание организатора тоже состоит из частей «одна вогнутость и две выпуклости». Наш рисунок построен самостоятельно перебором.

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Начальный вход

Равные фигуры имеют равные площади
Площадь складывается из площадей частей

Приёмы решения: Сравнение площадей по основанию и высоте · Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →