Матпраздник 2023 год · учебный сезон 2022/23 · Математика · 6 кл., №2

Условие

Вася в течение $10$ дней решал задачи — каждый день хотя бы одну. Каждый день (кроме первого), если погода была пасмурная, то он решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а если солнечная — на одну задачу меньше. За первые $9$ дней Вася решил $13$ задач. Какая погода была на десятый день?

О задаче · 6 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2023 (учебный сезон 2022/23)
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Вариант: Классический

Попробуй сам придумать, как Вася мог решать задачи: сколько в первый день и какая погода дальше, чтобы за $9$ дней вышло ровно $13$ В модели «Дневник Васи» меняй погоду и число задач в первый день — она пересчитает каждый день и проверит условия. Много ли у тебя получилось подходящих дневников?

Ответ — погода на десятый день: пасмурная или солнечная. Объясни, почему другая быть не могла.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДневник Васи

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Дневник Васи

Задай, сколько задач Вася решил в первый день и какая погода была в остальные дни. Модель посчитает задачи каждого дня и проверит условия.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Нарисуй 10 клеточек-дней. В первую впиши число задач, дальше над каждой клеточкой поставь «+1» (пасмурно) или «−1» (солнечно) и пересчитай. Проверь: каждый день хотя бы одна задача и за 9 дней ровно 13.

Подсказка 1

$13$ задач за $9$ дней — это очень мало. Подумай, каким может быть самый «ленивый» дневник, если соседние дни отличаются ровно на одну задачу.

Подсказка 2

Раздели дни на пары: $1$ – $2$ $3$ – $4$ $5$ – $6$ $7$ – $8$ и отдельно $9$ -й день. Сколько задач как минимум может быть в паре соседних дней?

Разобрать решение по шагам

Соседние дни отличаются на одну задачу

Какая бы ни была погода, число задач каждый день меняется ровно на $1$ при пасмурной погоде — на $1$ больше, при солнечной — на $1$ меньше. Поэтому в двух соседних днях не может быть одинакового числа задач.

Пара соседних дней — не меньше трёх задач

Возьмём два соседних дня. В каждый день Вася решал хотя бы одну задачу. Но оба дня по одной задаче быть не может — числа отличаются на $1$ Значит, в один из двух дней не меньше $2$ задач, и вместе в паре не меньше

1+2=3

задач.

Девять дней — не меньше тринадцати задач

Разобьём первые $9$ дней на четыре пары и один отдельный день: $1$ – $2$ $3$ – $4$ $5$ – $6$ $7$ – $8$ и $9$ -й день. В каждой паре не меньше $3$ задач, в $9$ -й день — не меньше $1$ Всего не меньше

4\cdot 3+1=13.

А Вася решил ровно $13$ Значит, нигде нет «запаса»: в каждой паре ровно $3$ задачи, а в $9$ -й день — ровно $1$ задача.

Единственный подходящий дневник: 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1. В каждой паре дней 3 задачи, в 9-й день — 1. На 10-й день — 2 задачи.

Десятый день

В $9$ -й день Вася решил одну задачу. На $10$ -й день он решил на одну задачу больше или на одну меньше. Меньше нельзя: вышло бы $0$ а Вася каждый день решал хотя бы одну задачу. Значит, в $10$ -й день он решил $2$ задачи — на одну больше, чем накануне, — и погода была пасмурная.

Проверка

Проверим перебором. Компьютер перебрал все дневники: число задач в первый день от $1$ до $13$ и любую погоду на дни $2$ – $9$ Подходит ровно один дневник: $1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1$ — в сумме $13$ После $9$ -го дня с одной задачей солнечная погода дала бы $0$ задач, поэтому на десятый день погода могла быть только пасмурной. Заметь: погоду всех дней мы тоже узнали — она чередуется, начиная с пасмурной во второй день.

Ответ

На десятый день погода была пасмурная.

Ответ

На десятый день погода была пасмурная.

Главная идея

Соседние дни отличаются на одну задачу, поэтому в паре соседних дней не меньше $1+2=3$ задач. Девять дней — это четыре пары и ещё день: не меньше $13$ задач. Раз решено ровно $13$ все оценки точные, и в $9$ -й день была одна задача. Меньше одной задачи быть не может — значит, на $10$ -й день задач стало больше.

Признаки: величина каждый шаг меняется на $1$ есть ограничение снизу («хотя бы одна») и маленькая сумма. Оцени сумму снизу, разбив шаги на пары, — если оценка совпала с данной суммой, всё определено однозначно.

Где легко ошибиться

Решить, что задачу нельзя решить, раз неизвестна погода в другие дни. Другая ошибка — подобрать один дневник, например $1, 2, 1, \dots$ и на этом остановиться: без оценки не видно, что других дневников нет. И ещё — забыть, что «хотя бы одну» запрещает $0$ задач в десятый день.

Источник и авторство

Математический праздник 2023 года · классический вариант · 6 класс, задача 2 [5 баллов] · автор задачи Б. Р. Френкин.

Условия 2023 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 6 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Ответ совпадает с ответом в решениях организатора (book.pdf 2023).

Продолжить тему: Неравенства и экстремумы →

Тема, знания и приёмы

Неравенства и экстремумы · Нужна школьная база

Если каждое слагаемое не меньше чего-то, то и сумма не меньше суммы этих оценок
Соседние натуральные числа, отличающиеся на 1

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →