Матпраздник 2022 год · учебный сезон 2021/22 · Математика · 7 кл., №5

Условие

В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=BC=CD$ $\angle A=70^\circ$ и $\angle B=100^\circ$ Чему могут быть равны углы $C$ и $D$

О задаче · 7 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2022 (учебный сезон 2021/22)
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Вариант: Классический

Попробуй построить такой четырёхугольник: стороны $AB$ $BC$ и углы $A$ $B$ задают три вершины, а $D$ лежит на луче. Сколько может быть положений $D$ В модели «Три равных стороны» двигай точку $D$ по лучу и ищи, где $CD=AB$ Запиши, какие углы получаются.

Ответ — все возможные значения углов $C$ и $D$ Объясни, почему других вариантов нет.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТри равных стороны

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Три равных стороны

Вершины A, B, C уже стоят. Двигай D по лучу и следи за длиной CD. Где CD = AB, модель покажет углы C и D.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Начерти угол 70° с вершиной A, отложи AB, потом угол 100° при B и BC = AB. Циркулем с центром C и радиусом AB отметь точки на луче AD и измерь углы транспортиром.

Подсказка 1

Точка $D$ лежит на луче из $A$ под углом $70^\circ$ к $AB$ и до неё от $C$ расстояние $BC$ Сколько точек на луче находится на данном расстоянии от $C$

Подсказка 2

Отметь на $AD$ точку $E$ так, чтобы $\angle ABE=40^\circ$ Найди углы треугольника $ABE$ и посмотри на треугольник $BCE$

Разобрать решение по шагам

Где может быть D

Вершины $A$ $B$ $C$ определяются однозначно: $AB=BC$ и $\angle B=100^\circ$ Точка $D$ лежит на луче из $A$ который образует с $AB$ угол $70^\circ$ и $CD=BC$ Значит, $D$ — точка этого луча на расстоянии $BC$ от $C$ На прямой таких точек не больше двух (окружность с центром $C$ пересекает прямую не больше чем в двух точках). Найдём их.

Точка E: равносторонний треугольник

Отметим на луче точку $E$ так, что $\angle ABE=40^\circ$ В треугольнике $ABE$

\angle AEB=180^\circ-70^\circ-40^\circ=70^\circ=\angle A,

значит, он равнобедренный: $BE=AB=BC$

В треугольнике $BCE$ $BE=BC$ и $\angle CBE=100^\circ-40^\circ=60^\circ$ . Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ — равносторонний, поэтому $CE=BC$ Точка $E$ подходит!

Первый ответ

Если $D=E$ получаем четырёхугольник $ABCE$ Угол при $C$ — это угол равностороннего треугольника: $\angle C=60^\circ$ Угол при $D$

\angle D=\angle AEB+\angle BEC=70^\circ+60^\circ=130^\circ.

Проверка: $70^\circ+100^\circ+60^\circ+130^\circ=360^\circ$ .

Вторая точка

Вторая точка $D$ лежит на луче за $E$ причём $CD=CE$ Угол между $EC$ и продолжением луча:

\angle CED=180^\circ-70^\circ-60^\circ=50^\circ.

Треугольник $CED$ равнобедренный ( $CE=CD$ ), поэтому $\angle CDE=50^\circ$ и $\angle ECD=180^\circ-2\cdot 50^\circ=80^\circ$ .

Тогда $\angle D=50^\circ$ $\angle C=\angle BCE+\angle ECD=60^\circ+80^\circ=140^\circ$ . Проверка: $70^\circ+100^\circ+140^\circ+50^\circ=360^\circ$ .

Две подходящие точки на луче: E (четырёхугольник ABCE, углы 60° и 130°) и D (углы 140° и 50°).

Других точек нет

Между $A$ и $E$ подходящих точек нет: для любой точки $D'$ на отрезке $AE$ угол $CED'$ равен $70^\circ+60^\circ=130^\circ$ — тупой, и $CD'$ как сторона против тупого угла больше $CE$ А всего на прямой не больше двух точек на расстоянии $CE$ от $C$ и обе мы нашли.

Ответ: $\angle C=60^\circ$ $\angle D=130^\circ$ или $\angle C=140^\circ$ $\angle D=50^\circ$

Проверка

Проверим вычислением. Компьютер построил точки по координатам ( $AB=1$ ) и решил уравнение $CD=1$ для точки $D$ на луче: корней ровно два. Для ближнего углы $C$ и $D$ равны $60^\circ$ и $130^\circ$ для дальнего — $140^\circ$ и $50^\circ$ сумма углов в обоих случаях $360^\circ$ Отдельно он «обошёл» четырёхугольник по сторонам $1, 1, 1$ с этими углами и убедился, что точка $D$ попадает на луч под углом $70^\circ$ к $AB$ Проверил он и луч по другую сторону от $AB$ — там подходящего четырёхугольника нет.

Ответ

$\angle C=60^\circ$ и $\angle D=130^\circ$ или $\angle C=140^\circ$ и $\angle D=50^\circ$

Ответ

$\angle C=60^\circ$ и $\angle D=130^\circ$ или $\angle C=140^\circ$ и $\angle D=50^\circ$

Главная идея

Точка $D$ — пересечение луча с окружностью радиуса $BC$ вокруг $C$ таких точек две. Ближнюю находит дополнительный отрезок $BE$ с $\angle ABE=40^\circ$ треугольник $ABE$ равнобедренный, а $BCE$ — равносторонний. Дальняя получается из равнобедренного треугольника $CED$

Признак: в четырёхугольнике несколько равных сторон и известные углы. Ищи равнобедренные и равносторонние треугольники; помни, что точка на прямой на заданном расстоянии может быть не одна.

Где легко ошибиться

Найти только один ответ. Точек на луче на расстоянии $BC$ от $C$ две, и обе дают настоящий четырёхугольник. Другая ошибка — решить, что четырёхугольник с $AB=BC=CD$ «почти ромб», и считать противоположные углы равными.

Источник и авторство

Математический праздник 2022 года · классический вариант · 7 класс, задача 5 [8 баллов] · автор задачи М. А. Волчкевич.

Условия 2022 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 7 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Ответ совпадает с ответом в решениях организатора (book.pdf 2022).

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Начальный вход

Сумма углов треугольника и четырёхугольника
Равнобедренный и равносторонний треугольник
Против большего угла лежит большая сторона

Приёмы решения: Дополнительное построение · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →