Матпраздник 2022 год · учебный сезон 2021/22 · Математика · 6 кл., №4

Условие

Лабиринт для мышей (см. рисунок) представляет собой квадрат $5\times 5$ метров, мыши могут бегать только по дорожкам. На двух перекрёстках положили по одинаковому куску сыра (обозначены крестиками). На другом перекрёстке сидит мышка (обозначена кружочком). Она чует, где сыр, но до обоих кусочков ей нужно пробежать одинаковое расстояние. Поэтому она не знает, какой кусочек выбрать, и задумчиво сидит на месте.

а) Отметьте ещё пять перекрёстков, где могла бы задумчиво сидеть мышка (откуда до обоих кусочков сыра ей нужно пробежать одинаковое расстояние). *[2 балла]*

б) Придумайте, на каких двух перекрёстках можно положить по куску сыра так, чтобы подходящих для задумчивой мышки перекрёстков оказалось как можно больше. *[до 5 баллов]*

Рисунок к условию

О задаче · 6 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2022 (учебный сезон 2021/22)
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Вариант: Классический

Сначала посчитай для мышки на рисунке, сколько ей бежать до каждого куска. Отметь в модели «Задумчивая мышка» перекрёстки, которые, по-твоему, подходят: модель покажет оба расстояния. Потом попробуй переложить сыр так, чтобы задумчивых мест стало как можно больше. Запиши, сколько у тебя получилось.

Ответ — два рисунка: а) пять отмеченных перекрёстков; б) два куска сыра и все подходящие перекрёстки — и объяснение, почему больше не бывает.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЗадумчивая мышка

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Задумчивая мышка

Отмечай перекрёстки, где мышке до обоих кусков сыра одинаково далеко, — модель покажет оба расстояния. Переложи сыр и найди положение, где таких мест больше всего.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Нарисуй сетку 5×5 и поставь крестики-сыр. У каждого перекрёстка напиши два числа: сколько метров по дорожкам до первого сыра и до второго. Обведи перекрёстки, где числа равны.

Подсказка 1

Расстояние по дорожкам — это сколько метров бежать по горизонтали плюс сколько по вертикали. Посмотри, как меняются оба расстояния, если мышка сдвинется на метр вниз.

Подсказка 2

Для пункта б): если сыр лежит на двух перекрёстках, соседних по диагонали, то для перекрёстков «за» ними сдвиг по горизонтали и сдвиг по вертикали просто меняются местами. Попробуй положить такой сыр у угла.

Разобрать решение по шагам

Как считать расстояние

Мышка бегает только по дорожкам. Чтобы добраться до сыра, ей нужно пробежать по горизонтали столько метров, на сколько сыр левее или правее, и по вертикали — на сколько он выше или ниже. Короче не получится, и так бежать всегда можно. Значит,

\text{расстояние}=\text{сдвиг по горизонтали}+\text{сдвиг по вертикали}.

Мышка на рисунке: до левого сыра $1+1=2$ м, до правого $2+0=2$ м — поровну.

Пункт а): вниз от мышки

Оба куска сыра лежат не ниже мышки. Если мышка спустится на метр вниз, ей станет на метр дальше до обоих кусков. Равенство сохранится. Поэтому подходят все три перекрёстка под мышкой, до нижнего края лабиринта.

Пункт а): вверх и вправо

Сдвинемся от мышки на метр вправо и на метр вверх — на перекрёсток, соседний по диагонали. До левого сыра: $2$ м по горизонтали и $0$ по вертикали, всего $2$ м. До правого: $1+1=2$ м. Подходит!

Выше него — верхний край, а оба куска сыра ниже. Если подняться ещё на метр, станет дальше до обоих — равенство сохранится. Подходит и этот перекрёсток на верхнем краю.

Итак, кроме мышки: три перекрёстка под ней и два — на соседней справа вертикали вверху.

Пункт а): мышка из условия и ещё пять подходящих перекрёстков.

Пункт б): пример на 26 мест

Положим сыр у левого верхнего угла: один кусок на верхнем краю в метре от угла, другой — на левом краю в метре от угла (они соседние по диагонали).

Возьмём любой перекрёсток, который не левее первого куска и не выше второго. До первого куска: $x-1$ по горизонтали и $y$ по вертикали, до второго: $x$ и $y-1$ (здесь $x$ — сколько метров от левого края, $y$ — от верхнего). Сумма одна и та же:

(x-1)+y=x+(y-1).

Таких перекрёстков $5\cdot 5=25$ И ещё сам угол: до каждого куска по $1$ м. Всего $26$ задумчивых мест.

Пункт б): сыр у угла — 26 задумчивых мест (угол и квадрат 5×5 перекрёстков).

Почему больше 26 нельзя

Возьмём одну горизонтальную дорожку от левого края до правого. Пусть оба её конца подходят для мышки. Когда мышка пробегает дорожку от левого конца к правому, расстояние до сыра, лежащего на вертикали номер $a$ меняется на $(5-a)-a=5-2a$ метров. До второго сыра, на вертикали номер $b$ — на $5-2b$ На обоих концах расстояния равны, значит, изменения тоже равны: $a=b$ Оба куска лежат на одной вертикали!

Но тогда задумчивые места — только на одной горизонтали (посередине между кусками), их ровно $6$

То же верно для вертикальных дорожек. Выберем $10$ дорожек: все $6$ горизонталей и $4$ внутренние вертикали. Их $20$ концов все разные. Если задумчивых мест больше $6$ у каждой из $10$ дорожек хотя бы один конец не подходит, — значит, не подходят хотя бы $10$ из $36$ перекрёстков. Остаётся не больше $36-10=26$

Десять дорожек оценки: шесть горизонталей и четыре внутренние вертикали. У каждой хотя бы один конец не подходит.

Проверка

Проверим перебором. Компьютер перебрал все $630$ способов положить два куска сыра и для каждого посчитал расстояния по дорожкам (поиском в ширину, без формулы). Для сыра из условия подходящих перекрёстков ровно $6$ — мышка и пять найденных. Наибольшее число — $26$ оно получается только у четырёх углов. Он же проверил главное утверждение оценки: если оба конца одной из $10$ дорожек подходят, то подходящих мест ровно $6$

Ответ

а) Кроме мышки подходят три перекрёстка прямо под ней и два верхних перекрёстка на соседней справа вертикали (см. рисунок).

б) Положить сыр на двух перекрёстках, соседних по диагонали у угла, например в метре от левого верхнего угла на верхнем и на левом краю. Тогда задумчивых мест $26$ — больше быть не может.

Ответ

Главная идея

Расстояние по дорожкам — сумма сдвигов по горизонтали и вертикали. Если сыр лежит на соседних по диагонали перекрёстках, то для всех перекрёстков «за» ними сдвиги просто меняются местами — равенство держится на целом квадрате. Оценку даёт подсчёт: на каждой из 10 непересекающихся по концам дорожек хотя бы один конец не подходит.

Признак: движение только по клеткам или улицам. Считай расстояние как сумму сдвигов по горизонтали и вертикали; ищи, при каком сдвиге оба расстояния меняются одинаково.

Где легко ошибиться

Считать расстояние «по прямой», а не по дорожкам. Другая ошибка в б) — положить сыр симметрично на одной линии: тогда подходит только одна линия из 6 перекрёстков. И ещё — забыть сам угол, когда считаешь 26.

Источник и авторство

Математический праздник 2022 года · классический вариант · 6 класс, задача 4 [7 баллов] · автор задачи Т. В. Казицына. Та же задача была в 7 классе (задача 4); разбор общий.

Условия 2022 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 6 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника, рисунок перерисован по оригиналу. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Ответ совпадает с ответом в решениях организатора (book.pdf 2022).

Продолжить тему: Расстояния и пути на поверхности →

Тема, знания и приёмы

Расстояния и пути на поверхности · Начальный вход

Движение по клетчатой сетке: сдвиг по горизонтали и по вертикали
Подсчёт точек на квадратной решётке

Приёмы решения: Координаты и проекции · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →