Матпраздник 2022 год · учебный сезон 2021/22 · Математика · 6 кл., №1

Условие

Тане и Ване дали одинаковые многоугольники из бумаги. Таня отрезала от своего листа кусок, и остался квадрат. Ваня отрезал точно такой же (и по форме, и по размеру) кусок по-другому, и у него остался треугольник. Нарисуйте пример, как это могло быть.

О задаче · 6 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2022 (учебный сезон 2021/22)
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Вариант: Классический

Подумай, какой кусок проще всего отрезать от квадрата и от треугольника. Нарисуй свой лист в модели «Лист и ножницы»: сначала сам лист, потом кусок Тани и кусок Вани. Модель проверит, что у Тани остался квадрат, у Вани — треугольник, а куски одинаковые.

Ответ — рисунок: лист и два способа отрезать одинаковый кусок. Проверь, что у Тани остался квадрат, у Вани — треугольник, а куски совпадают при наложении.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЛист и ножницы

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Лист и ножницы

Нарисуй лист из клеток и половинок клеток. Потом отметь кусок, который отрезала Таня, и кусок, который отрезал Ваня. Модель проверит условия.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Нарисуй на клетчатой бумаге многоугольник. Закрась кусок, после которого остаётся квадрат. Вырежи такой же кусок из кальки и поищи, где ещё его можно приложить к листу так, чтобы остался треугольник.

Подсказка 1

Пойди от ответа: лист — это квадрат с приклеенным куском. И этот же лист — треугольник с приклеенным таким же куском. Какой кусок подойдёт для обоих?

Подсказка 2

Попробуй кусок в виде прямоугольного треугольника, у которого катеты равны. Его можно приложить к стороне квадрата, а можно отрезать от квадрата по диагонали.

Разобрать решение по шагам

Что значит «отрезать»

Если от листа отрезали кусок и остался квадрат, то лист — это квадрат и кусок вместе. Если от того же листа отрезали такой же кусок и остался треугольник, то лист — это треугольник и такой же кусок вместе. Значит, нужно найти фигуру, которую можно получить двумя способами: «квадрат + кусок» и «треугольник + такой же кусок».

Берём кусок-треугольник

Возьмём квадрат со стороной $2$ клетки и приложим к его правой стороне прямоугольный треугольник с катетами $2$ и $2$ Получится трапеция: внизу сторона $4$ клетки, вверху $2$ клетки, слева сторона $2$ клетки, а справа — наклонная сторона. Это и есть лист.

Таня отрезает приложенный треугольник справа — остаётся квадрат $2\times 2$

Как режет Ваня

Ваня отрезает такой же треугольник в другом месте — у левого верхнего угла. Он режет квадрат по диагонали: от верхнего правого угла квадрата к его левому нижнему углу. Отрезанный кусок — прямоугольный треугольник с катетами $2$ и $2$ такой же, как у Тани, только повёрнут.

Остаётся фигура с вершинами: левый нижний угол листа, правый нижний угол листа и верхний правый угол квадрата. Обе её верхние стороны идут под углом $45^\circ$ и встречаются в одной точке, поэтому это треугольник.

Лист — трапеция. Таня отрезает треугольник справа, Ваня — такой же треугольник у левого верхнего угла.

Проверяем площади

Площадь листа: квадрат $4$ клетки и треугольник $2$ клетки — всего $6$ клеток. У Тани осталось $6-2=4$ клетки — квадрат $2\times 2$ У Вани тоже $4$ клетки — треугольник с основанием $4$ и высотой $2$

\frac{4\cdot 2}{2}=4.

Всё сходится.

Проверка

Проверим по клеткам. В модели «Пример» рисует этот лист из четвертинок клеток. Модель сама считает: у Тани остаётся выпуклая фигура с четырьмя равными сторонами и равными диагоналями (квадрат площади $4$ ), у Вани — выпуклая фигура с тремя вершинами (треугольник площади $4$ ). Отрезанные куски совпадают после поворота. Других примеров много: например, можно взять другой размер квадрата.

Ответ

Например, лист — прямоугольная трапеция: квадрат $2\times 2$ с приложенным справа треугольником с катетами $2$ и $2$ Таня отрезает этот треугольник — остаётся квадрат. Ваня отрезает такой же треугольник у левого верхнего угла, разрезая квадрат по диагонали, — остаётся треугольник.

Ответ

Главная идея

Лист — это «квадрат + кусок» и одновременно «треугольник + такой же кусок». Равнобедренный прямоугольный треугольник подходит для обоих: его можно приложить к стороне квадрата, а можно отрезать от того же квадрата по диагонали.

Признак: нужно придумать фигуру, которая разрезается двумя способами. Рассуждай с конца: собери фигуру из того, что должно остаться, и куска, а потом поищи для куска второе место.

Где легко ошибиться

Отрезать у Вани кусок другой формы или другого размера. Например, от трапеции можно отрезать квадрат и получить треугольник, но квадрат — не такой кусок, как у Тани. Ещё ошибка — нарисовать фигуру, у которой остаток только «почти» треугольник: углы должны точно сходиться в одной точке.

Источник и авторство

Математический праздник 2022 года · классический вариант · 6 класс, задача 1 [4 балла] · автор задачи Т. В. Казицына.

Условия 2022 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 6 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Пример совпадает с примером в решениях организатора (book.pdf 2022).

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Нужна школьная база

Квадрат, прямоугольный треугольник, диагональ квадрата
Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов

Приёмы решения: Дополнительное построение · Поворот плоскости

Задать вопрос по задаче →