Матпраздник 2022 год · учебный сезон 2021/22 · Математика · 6 кл., №3

Условие

Цифры от $0$ до $9$ зашифрованы буквами $A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ в каком-то порядке. За один вопрос можно узнать зашифрованную запись суммы нескольких различных букв. Например, если спросить « $A+B=?$ », то в случае, когда $A=9$ $B=1$ $C=0$ ответом будет « $A+B=BC$ ». Как можно за пять таких вопросов определить, какие буквы каким цифрам соответствуют?

О задаче · 6 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2022 (учебный сезон 2021/22)
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Вариант: Классический

Сначала подумай сам, какие вопросы задавать. Запиши первый вопрос, который хочешь задать. Потом поиграй в модели «Шифровальщик»: задавай вопросы и заполняй таблицу расшифровки. Уложишься в пять вопросов?

Ответ — список из пяти вопросов и объяснение, как по ответам узнать все буквы. Проверь, что каждая сумма известна заранее.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШифровальщик

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шифровальщик

Компьютер спрятал шифр. Выбирай буквы и спрашивай их сумму — ответ придёт зашифрованным. Разгадай шифр и запиши его в таблицу.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Сыграйте вдвоём: один записывает на листке, какая буква какой цифре соответствует, другой задаёт вопросы «сумма этих букв = ?», а первый отвечает буквами.

Подсказка 1

Ответ полезен, если ты заранее знаешь, какое число получится. Какую сумму букв можно знать заранее, ничего не зная о шифре?

Подсказка 2

Сумма всех цифр от $0$ до $9$ равна $45$ Спроси сумму всех букв — ответ покажет, какие буквы означают $4$ и $5$ А какую сумму ты знаешь после этого?

Разобрать решение по шагам

Какие вопросы полезны

Ответ приходит зашифрованным, поэтому из него можно что-то понять, только если мы заранее знаем, какое число получится. Тогда зашифрованная запись сразу показывает, какими буквами записаны цифры этого числа. Значит, будем спрашивать только суммы, которые знаем заранее.

Первый вопрос: все десять букв

Сумма всех цифр:

0+1+2+\ldots+9=45.

Спросим сумму всех десяти букв. Ответ — две буквы: первая означает $4$ вторая — $5$ Две цифры разгаданы.

Дальше — сумма ещё не разгаданных

Теперь мы знаем буквы цифр $4$ и $5$ Сумма остальных восьми букв равна $45-4-5=36$ Спросим её — ответ покажет буквы цифр $3$ и $6$

Дальше так же: сумма шести оставшихся букв $36-3-6=27$ — узнаём $2$ и $7$ сумма четырёх оставшихся $27-2-7=18$ — узнаём $1$ и $8$

Пятый вопрос

Остались две буквы — для цифр $0$ и $9$ Их сумма $18-1-8=9$ и в ответе будет одна буква: это буква цифры $9$ Последняя оставшаяся буква — $0$

За пять вопросов шифр разгадан полностью:

45,\ 36,\ 27,\ 18,\ 9.

Каждая следующая сумма на $9$ меньше: мы каждый раз убираем две цифры, которые в сумме дают $9$ ( $4+5$ $3+6$ $2+7$ $1+8$ ).

Пять вопросов: каждый раз спрашиваем сумму всех ещё не разгаданных букв.

Проверка

Проверим перебором. Компьютер перебрал все $3\,628\,800$ способов зашифровать цифры. Для каждого он задал эти пять вопросов и, глядя только на зашифрованные ответы, восстановил шифр — каждый раз правильно. Годятся и другие планы: например, $45$ затем сумма всех, кроме буквы пятёрки ( $40$ ), и так далее, — но план «сумма неразгаданных» самый простой.

Ответ

Спрашиваем по очереди сумму всех ещё не разгаданных букв: всех десяти ( $45$ — узнаём $4$ и $5$ ), восьми оставшихся ( $36$ — узнаём $3$ и $6$ ), шести оставшихся ( $27$ — $2$ и $7$ ), четырёх оставшихся ( $18$ — $1$ и $8$ ) и двух оставшихся ( $9$ — узнаём $9$ последняя буква — $0$ ).

Ответ

Главная идея

Полезен только вопрос, ответ на который известен заранее: тогда зашифрованный ответ показывает буквы цифр этого числа. Сумма всех цифр $45$ известна; каждый ответ открывает две цифры, и сумма оставшихся снова известна.

Признак: ответ приходит в неизвестной кодировке. Задавай вопросы, ответ на которые ты знаешь, — тогда ответ расшифрует сам себя.

Где легко ошибиться

Спрашивать суммы пар букв, не зная их значений: ответ вроде « $A+B=BC$ » почти ничего не говорит. Другая ошибка — забыть, что последнюю букву не нужно узнавать отдельно: она получается сама, когда известны девять.

Источник и авторство

Математический праздник 2022 года · классический вариант · 6 класс, задача 3 [6 баллов] · автор задачи А. А. Заславский. Та же задача была в 7 классе (задача 3); разбор общий.

Условия 2022 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 6 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: План в разборе — план организатора (book.pdf 2022); свой слепой план другой, но тоже верный.

Продолжить тему: Десятичная запись →

Тема, знания и приёмы

Десятичная запись · Нужна школьная база

Сумма 0 + 1 + … + 9 = 45
Запись числа цифрами

Приёмы решения: Разрядная запись числа · Логический вывод и исключение вариантов

Задать вопрос по задаче →