Задача 6. Шеренга

Три вида пар

Каждый солдат смотрит на соседа с той стороны, куда повернулся (крайний может смотреть «в пустоту»). Посмотрим на каждую пару соседей.

• В одну сторону ($\to\to$ или $\leftarrow\leftarrow$): один смотрит соседу в затылок.
• Лицом к лицу ($\to\leftarrow$): двое смотрят друг другу в лицо.
• Спиной к спине ($\leftarrow\to$): никто никуда в этой паре не смотрит.

Каждый солдат, который смотрит на соседа, попадает ровно в одну пару — с тем, на кого смотрит.

Что делает «кругом»

Пусть $a$ пар смотрят в одну сторону, $b$ пар стоят лицом к лицу, $c$ — спиной к спине. Тогда в затылок смотрят $a$ солдат, в лицо — $2b$.

После «кругом» пара «в одну сторону» остаётся такой же, а «лицом к лицу» и «спиной к спине» меняются местами. Теперь в затылок снова смотрят $a$ солдат, а в лицо — $2c$.

Составляем равенства

По условию

Значит, $12b=14c$, то есть $6b=7c$. Так как $6$ и $7$ не имеют общих делителей, $b$ делится на $7$, а $c$ — на $6$: $b=7m$, $c=6m$ для некоторого натурального $m$ (в лицо кто-то смотрит, значит, $m\ge 1$).

Пары чередуются

Пройдём вдоль шеренги слева направо. Солдаты стоят группами, повёрнутыми в одну сторону. На границе групп повёрнутые вправо сменяются повёрнутыми влево (пара «лицом к лицу») или наоборот (пара «спиной к спине»). Эти смены чередуются: после смены «вправо → влево» следующая может быть только «влево → вправо». Поэтому $b$ и $c$ отличаются не больше чем на $1$.

Но $b-c=7m-6m=m$. Значит, $m=1$: $b=7$, $c=6$, $a=12\cdot 7=84$.

Считаем солдат

Пар соседей всего $a+b+c=84+7+6=97$, а солдат на одного больше, чем пар:

Пример: $14$ групп по $7$ солдат, первая смотрит вправо, дальше направления чередуются. Тогда в затылок смотрят $84$, в лицо $14$ (в $6$ раз меньше); после «кругом» в затылок $84$, в лицо $12$ (в $7$ раз меньше).