Матпраздник 2022 год · учебный сезон 2021/22 · Математика · 7 кл., №1

Условие

Ваня расставил в кружках различные цифры, а внутри каждого треугольника записал либо сумму, либо произведение цифр в его вершинах. Потом он стёр цифры в кружочках. Впишите в кружочки различные цифры так, чтобы условие выполнялось.

(На рисунке три треугольника с числами $3$ $14$ и $15$ )

Рисунок к условию

О задаче · 7 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2022 (учебный сезон 2021/22)
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Вариант: Классический

С какого треугольника удобнее начать? Попробуй вписать цифры в модели «Цифры в кружках»: она посчитает сумму и произведение в каждом треугольнике и подсветит повторяющиеся цифры.

Ответ — пять цифр в кружках. Проверь каждый треугольник: сумма или произведение должно равняться числу внутри, а все цифры — разные.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЦифры в кружках

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Цифры в кружках

Выбери кружок и впиши цифру. Модель посчитает в каждом треугольнике сумму и произведение и покажет, подходит ли число.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Перерисуй фигуру и вписывай цифры карандашом. Для каждого треугольника посчитай сумму и произведение и сравни с числом внутри.

Подсказка 1

Начни с самого маленького числа — $3$ Можно ли получить $3$ как произведение трёх различных цифр?

Подсказка 2

Значит, $3=0+1+2$ Средний треугольник содержит две из этих цифр. Может ли $14$ быть суммой? А произведением?

Разобрать решение по шагам

Треугольник с числом 3

Произведение трёх различных цифр не может равняться $3$ если среди них есть $0$ произведение $0$ иначе $3$ раскладывается только как $1\cdot 1\cdot 3$ а цифры должны быть разными. Значит, $3$ — это сумма, и единственный вариант суммы трёх различных цифр:

0+1+2=3.

В левом треугольнике стоят цифры $0$ $1$ и $2$

Треугольник с числом 14

Средний треугольник делит с левым два кружка: верхний левый и нижний средний. В них две из цифр $0, 1, 2$ — их сумма не больше $1+2=3$ Чтобы сумма была $14$ третья цифра должна быть хотя бы $11$ — так не бывает. Значит, $14$ — произведение. Тогда среди общих цифр нет $0$ это $1$ и $2$ а третья — верхний правый кружок:

1\cdot 2\cdot 7=14.

В верхнем правом кружке $7$ а $0$ — в нижнем левом.

Треугольник с числом 15

В правом треугольнике есть $7$ и нижний средний кружок ( $1$ или $2$ ). Произведение $15=3\cdot 5$ на $7$ не делится, значит, $15$ — сумма. Если внизу посередине $1$ то третья цифра $15-7-1=7$ — повтор. Значит, внизу посередине $2$ вверху слева $1$ а в нижнем правом кружке

15-7-2=6.

Ответ: сверху 1 и 7, снизу 0, 2, 6. 0 + 1 + 2 = 3, 1 · 7 · 2 = 14, 7 + 2 + 6 = 15.

Проверка

Проверим перебором. Компьютер перебрал все расстановки пяти различных цифр. Подходит ровно одна: сверху $1$ и $7$ снизу $0$ $2$ $6$ Проверка: $0+1+2=3$ $1\cdot 7\cdot 2=14$ $7+2+6=15$ Значит, рассуждение не пропустило ни одного варианта — ответ единственный.

Ответ

Сверху слева $1$ сверху справа $7$ снизу слева направо $0$ $2$ $6$

Ответ

Сверху слева $1$ сверху справа $7$ снизу слева направо $0$ $2$ $6$

Главная идея

Начинаем с самого «тесного» числа: $3$ может быть только суммой $0+1+2$ Тогда $14$ не может быть суммой (не хватит третьей цифры) — это $1\cdot 2\cdot 7$ А $15$ с семёркой — только сумма $7+2+6$

Признак: числа связаны «суммой или произведением», цифры различны. Начни с числа, у которого меньше всего вариантов, — обычно с самого маленького или простого.

Где легко ошибиться

Подбирать цифры наугад, начав с большого числа. Другая ошибка — забыть, что цифры различны, и взять $3=1\cdot 1\cdot 3$

Источник и авторство

Математический праздник 2022 года · классический вариант · 7 класс, задача 1 [4 балла] · автор задачи В. А. Клепцын.

Условия 2022 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 7 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника, рисунок перерисован по оригиналу. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Ответ совпадает с ответом в решениях организатора (book.pdf 2022).

Продолжить тему: Счёт и величины →

Тема, знания и приёмы

Счёт и величины · Нужна школьная база

Разложение числа на множители
Перебор вариантов с отсечением

Приёмы решения: Разбор случаев · Разложение на множители

Задать вопрос по задаче →