Матпраздник 2021 год · учебный сезон 2020/21 · Математика · 6 кл., №4

Условие

Внутри клетчатого прямоугольника периметра $50$ клеток по границам клеток вырезана прямоугольная дырка периметра $32$ клетки (дырка не содержит граничных клеток). Если разрезать эту фигуру по всем горизонтальным линиям сетки, получится $20$ полосок шириной в $1$ клетку. А сколько полосок получится, если вместо этого разрезать её по всем вертикальным линиям сетки? (Квадратик $1\times 1$ — это тоже полоска!)

Рисунок к условию

О задаче · 6 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2021 (учебный сезон 2020/21)
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Вариант: Классический

Сколько полосок даёт одна строка без дырки? А строка, через которую проходит дырка? Построй в модели «Полоски с дыркой» свой прямоугольник с дыркой и разрежь его в обе стороны. Попробуй подобрать фигуру точно как в условии.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПолоски с дыркой

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Полоски с дыркой

Меняй размеры прямоугольника и дырки и режь фигуру на полоски. Модель посчитает полоски и периметры.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Нарисуй на клетчатой бумаге прямоугольник с дыркой. Посчитай полоски в каждой строке (1 или 2) и в каждом столбце. Сравни с размерами.

Подсказка 1

Обозначь высоту прямоугольника и высоту дырки. Сколько горизонтальных полосок получится, если дырки нет? А сколько строк дырка разрезает пополам?

Подсказка 2

Горизонтальных полосок столько, сколько строк, плюс столько, сколько строк занимает дырка. С вертикальными — то же самое со столбцами. А что известно про сумму всех четырёх размеров?

Разобрать решение по шагам

Размеры

Пусть прямоугольник шириной $b$ и высотой $a$ клеток, а дырка шириной $y$ и высотой $x$ Периметр — удвоенная сумма ширины и высоты:

a+b=\frac{50}{2}=25,\qquad x+y=\frac{32}{2}=16.

Горизонтальные полоски

Разрежем по горизонтальным линиям. Каждая строка прямоугольника — одна полоска. Но строки, через которые проходит дырка, разрезаются ею на две части (дырка не касается края, поэтому слева и справа от неё остаётся хотя бы по клетке). Таких строк $x$ Всего полосок

a+x=20.

Горизонтальные полоски: строки, через которые проходит дырка, дают по две полоски.

Вертикальные полоски

Точно так же по вертикали: $b$ столбцов, и $y$ из них дырка разрезает на две части. Полосок $b+y$ Сложим всё, что знаем:

(a+x)+(b+y)=(a+b)+(x+y)=25+16=41.

Значит, $b+y=41-20=21$

Вертикальные полоски: столбцы, через которые проходит дырка, дают по две полоски.

Проверка

Проверим перебором. Компьютер перебрал все прямоугольники с периметром $50$ и все дырки с периметром $32$ во всех допустимых местах и нарезал их на полоски клетка за клеткой. Если горизонтальных полосок $20$ то вертикальных всегда $21$ Например, подходит прямоугольник $12\times 13$ с дыркой $9\times 7$ — его можно построить в модели кнопкой «Пример как в условии».

Ответ

$21$ полоска.

Ответ

$21$ полоска.

Главная идея

Горизонтальных полосок столько, сколько строк, плюс высота дырки; вертикальных — сколько столбцов, плюс ширина дырки. Сумма этих двух чисел равна сумме половин периметров: $25+16=41$

Признак: известна одна величина, а нужна «парная» к ней, и обе выражаются через одни и те же размеры. Сложи их — часто сумма известна сразу.

Где легко ошибиться

Пытаться найти точные размеры прямоугольника и дырки: их нельзя определить однозначно, но они и не нужны. Другая ошибка — забыть, что строка с дыркой даёт две полоски, а не одну.

Источник и авторство

Математический праздник 2021 года · классический вариант · 6 класс, задача 4 [6 баллов] · автор задачи А. В. Шаповалов. Та же задача была в 7 классе (задача 3); разбор общий.

Условия 2021 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 6 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника, рисунок перерисован по оригиналу. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Ответ совпадает с ответом в решениях организатора (book.pdf 2021).

Продолжить тему: Периметры →

Тема, знания и приёмы

Периметры · Нужна школьная база

Периметр прямоугольника
Буквенные обозначения и сложение равенств

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →