Задача 2. Крестики и нолики на кубике

Соседи квадрата

Каждый квадрат касается сторонами четырёх квадратов: двух на своей грани и двух на соседних гранях — через рёбра куба. Нужно, чтобы среди этих четырёх было ровно два крестика и два нолика.

Невидимый квадрат у угла

Возьмём невидимый квадрат левой грани, который стоит у верхнего переднего угла кубика. Обозначим его $Z$. Он граничит:

• с левым передним квадратом верхней грани (там нолик);
• с левым верхним квадратом передней грани (там крестик).

Противоречие

Нолик на верхней грани (левый передний). Его соседи: нолик справа, крестик сзади, крестик на передней грани и $Z$. Уже два крестика и один нолик — значит, $Z$ обязан быть ноликом.

Крестик на передней грани (левый верхний). Его соседи: крестик справа, нолик снизу, нолик на верхней грани и $Z$. Уже два нолика и один крестик — значит, $Z$ обязан быть крестиком.

Один квадрат не может быть и тем и другим. Значит, Буратино ошибся.

б) Верная расстановка

Пусть на правой грани все четыре квадрата — крестики, а на левой — все нолики. На остальных четырёх гранях (верх, перед, низ, зад) поставим в столбике у левой грани крестики, а в столбике у правой — нолики.

Проверим. Квадрат правой грани: два соседа на своей грани — крестики, два соседа через рёбра — из столбиков у правой грани, это нолики. Левая грань — так же наоборот. Квадрат-крестик в столбике у левой грани: на своей грани у него крестик (в том же столбике) и нолик (в соседнем); через рёбра — нолик левой грани и крестик из такого же столбика соседней грани. Везде два крестика и два нолика.