Матпраздник 2021 год · учебный сезон 2020/21 · Математика · 6 кл., №3

Условие

Братья Петя и Вася решили снять смешной ролик и выложить его в интернет. Сначала они сняли, как каждый их них идёт из дома в школу — Вася шёл $8$ минут, а Петя шёл $5$ минут. Потом пришли домой и сели за компьютер монтировать видео: они запустили одновременно Васино видео с начала и Петино видео с конца (в обратном направлении); в момент, когда на обоих роликах братья оказались в одной и той же точке пути, они склеили Петино видео с Васиным. Получился ролик, на котором Вася идёт из дома в школу, а потом в какой-то момент вдруг превращается в Петю и идёт домой задом наперёд. А какой длительности получился ролик?

О задаче · 6 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2021 (учебный сезон 2020/21)
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Вариант: Классический

Как ты думаешь, нужно ли точно знать момент склейки? Запиши свою догадку. В модели «Ролик со склейкой» двигай время и найди момент встречи; посмотри, из каких частей состоит ролик. Поменяй время Васи — изменится ли длина ролика?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРолик со склейкой

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Ролик со склейкой

Двигай время: модель показывает Васю в его видео и Петю в видео, пущенном с конца. Для примера модель считает, что оба шли равномерно (в условии этого нет). Найди момент, когда они в одной точке, и посмотри, сколько длится ролик.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Нарисуй отрезок «дом — школа». Для примера считай, что братья шли равномерно (в условии этого нет): отмечай, где Вася через 1, 2, 3 минуты (каждую минуту 1/8 пути) и где Петя в обратном видео (каждую минуту на 1/5 ближе к дому).

Подсказка 1

Ролик — это кусок Васиного видео до склейки и кусок Петиного видео после склейки. Петино видео при этом идёт с того же момента, что и Васино.

Подсказка 2

Представь, что рядом на втором экране всё время идёт Петино видео целиком (с конца). До склейки на экранах разное, а после склейки — одно и то же. Когда закончится ролик?

Разобрать решение по шагам

Из чего состоит ролик

Оба видео запустили одновременно. Пусть склейка случилась через $t$ минут. До этого момента в ролике идёт Васино видео — $t$ минут.

Что после склейки

После склейки в ролике идёт Петино видео (задом наперёд) — с того же момента $t$ на котором оно было остановлено, и до самого конца. Петино видео длится $5$ минут, значит, после склейки остаётся $5-t$ минут.

Длина ролика

Всего

t+(5-t)=5\text{ минут}.

Момент склейки знать не нужно — и даже не нужно знать, равномерно ли шли братья: в условии этого нет. Если интересно, момент можно найти в простом случае, если считать, что оба шли равномерно: тогда Вася проходит за минуту $\frac{1}{8}$ пути, Петя — $\frac{1}{5}$ пути, вместе $\frac{1}{8}+\frac{1}{5}=\frac{13}{40}$ пути в минуту, и встреча через $\frac{40}{13}$ минуты. При другой ходьбе момент будет другим, а ролик всё равно $5$ минут.

Пример, если оба шли равномерно: склейка через 40/13 минуты. Ролик = Васина часть + Петина часть до конца, всего 5 минут — при любой ходьбе.

Взгляд с двух экранов

Ещё короче: включим на одном экране готовый ролик, а на другом — всё Петино видео с конца. Пока не было склейки, экраны показывают разное, а после склейки — одно и то же. Значит, ролик закончится одновременно с Петиным видео — через $5$ минут.

Проверка

Проверим подсчётом. Компьютер перебрал все целые времена Васи и Пети от $1$ до $15$ минут и для каждой пары нашёл момент встречи делением пополам. Всегда ролик длится ровно столько, сколько шёл Петя, а время Васи на длину не влияет. Для $8$ и $5$ минут при равномерной ходьбе склейка через $\frac{40}{13}$ минуты, ролик — $5$ минут.

Ответ

$5$ минут.

Ответ

$5$ минут.

Главная идея

Ролик — это Васино видео до момента склейки и Петино видео от того же момента до конца. Вместе они дают ровно всё Петино видео по времени, то есть $5$ минут.

Признак: в задаче есть точный момент, который трудно найти. Проверь, не сокращается ли он в ответе: часто нужна только сумма «до» и «после».

Где легко ошибиться

Считать, что братья шли равномерно, искать момент встречи и складывать неправильные отрезки, например момент склейки и остаток Васиного видео ( $8-t$ ). После склейки идёт Петино видео, а не Васино, а равномерность в условии не дана.

Источник и авторство

Математический праздник 2021 года · классический вариант · 6 класс, задача 3 [5 баллов] · автор задачи И. В. Ященко. Та же задача была в 7 классе (задача 2); разбор общий.

Условия 2021 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 6 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Ответ совпадает с ответом в решениях организатора (book.pdf 2021).

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Нужна школьная база

Совместное движение: скорость сближения
Дроби

Приёмы решения: Относительное движение

Задать вопрос по задаче →