Матпраздник 2021 год · учебный сезон 2020/21 · Математика · 6 кл., №5

Условие

Царь пообещал награду тому, кто сможет на каменистом пустыре посадить красивый фруктовый сад. Об этом узнали два брата. Старший смог выкопать $18$ ям (см. рисунок). Больше нигде не удалось, только все лопаты сломал. Царь рассердился и посадил его в темницу. Тогда младший брат Иван предложил разместить яблони, груши и сливы в вершинах равных треугольников (см. рисунок с деревьями), а остальные ямы засыпать.

Царь ответил так:

— Хорошо, если деревьев каждого вида будет ровно по три, и они будут расти в вершинах равных треугольников, выйдет красиво. Но три вида — слишком мало. Если кроме яблонь, груш и слив будут ещё и абрикосы — отпущу брата. Если добавишь пятый вид — черешню — заплачу за работу. Мне ещё миндаль нравится, но шесть треугольников ты тут не сможешь разместить.

— А если смогу?

— Тогда проси чего хочешь!

Иван задумался, не получить ли заодно и полцарства. Подумайте и вы: разместите как можно больше видов деревьев в вершинах равных треугольников. (Равенство треугольников означает равенство всех его сторон и углов, то есть точное совпадение при наложении; треугольники можно поворачивать и переворачивать. В одной яме может расти только одно дерево.)

Рисунок к условию

О задаче · 6 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2021 (учебный сезон 2020/21)
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Вариант: Классический

Сколько видов деревьев можно посадить, если ям $18$ Это самая смелая оценка — получится ли её достичь? В модели «Сад из равных треугольников» сажай деревья: модель проверит, равны ли треугольники, и посчитает их стороны. Запиши свой лучший результат.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСад из равных треугольников

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Сад из равных треугольников

Выбери вид деревьев и сажай их в ямы по три. Модель проверит, что все треугольники равны, и покажет длины их сторон.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Перерисуй ямы на клетчатую бумагу и вырежи из кальки треугольник. Прикладывай его (можно переворачивать) так, чтобы вершины попадали в ямы.

Подсказка 1

Ям $18$ на каждый вид уходит $3$ ямы, поэтому больше $6$ видов точно не будет. Попробуй занять все ямы. Начни с ям, у которых мало «удобных» соседей, — например с самых крайних.

Подсказка 2

Попробуй треугольник со сторонами «на одну клетку вбок и одну вниз», «на одну вбок и две вниз» (стороны $\sqrt{2}$ $\sqrt{5}$ и $\sqrt{13}$ если клетка — это две маленькие клеточки сетки). Например, ямы $(3;0)$ $(2;2)$ $(1;3)$

Разобрать решение по шагам

Больше шести нельзя

На каждый вид нужно $3$ ямы, а ям всего $18$ Значит, видов не больше $18:3=6$ Если удастся разместить $6$ треугольников, то все ямы будут заняты, и Иван получит всё обещанное.

Какой треугольник выбрать

Будем считать клеткой квадрат из двух маленьких клеточек сетки — все ямы стоят в узлах этой крупной сетки. Посмотрим на самую нижнюю яму: у неё мало соседей. Треугольник с ней должен «дотягиваться» до ям повыше. Подходит треугольник с вершинами

(7;2),\ (6;3),\ (5;5)

(первое число — номер столбца слева, второе — номер строки сверху). Его стороны: $\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ $\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ и $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

Шесть равных треугольников

Такими же треугольниками (повёрнутыми или сдвинутыми) удаётся занять все ямы:

$(3;0),\ (2;2),\ (1;3)$
$(5;0),\ (4;2),\ (3;3)$
$(1;1),\ (3;2),\ (4;3)$
$(6;1),\ (5;3),\ (4;4)$
$(0;2),\ (2;3),\ (3;4)$
$(7;2),\ (6;3),\ (5;5)$

В каждом стороны $\sqrt{2}$ $\sqrt{5}$ $\sqrt{13}$ — значит, треугольники равны по трём сторонам. Ямы не повторяются, и все $18$ заняты.

Шесть равных треугольников занимают все 18 ям.

Проверка

Проверим перебором. Компьютер перебрал все треугольники с вершинами в ямах, разбил их на группы равных (по трём сторонам) и для каждой группы нашёл наибольшее число треугольников без общих ям. Шесть получается только у одной группы — у треугольника со сторонами $\sqrt{2}$ $\sqrt{5}$ $\sqrt{13}$ Для четырёх и пяти видов вариантов гораздо больше.

Ответ

Можно разместить все $6$ видов: шесть равных треугольников (стороны $\sqrt{2}$ $\sqrt{5}$ $\sqrt{13}$ ) занимают все $18$ ям (см. рисунок). Больше нельзя — ям только $18$

Ответ

Главная идея

Оценка простая: $18$ ям — не больше $6$ троек. Пример находится, если начать с самых «неудобных» крайних ям и подобрать треугольник, который до них дотягивается; затем его копии заполняют всё.

Признак: нужно разбить точки на равные фигуры. Сначала оцени сверху (сколько фигур поместится), а пример строй от самых неудобных точек.

Где легко ошибиться

Остановиться на четырёх-пяти треугольниках, поверив царю. Другая ошибка — считать треугольники равными «на глаз»: проверяй длины всех трёх сторон.

Источник и авторство

Математический праздник 2021 года · классический вариант · 6 класс, задача 5 [7 баллов] · автор задачи Е. В. Бакаев.

Условия 2021 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 6 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника, рисунок перерисован по оригиналу. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Ответ совпадает с решениями организатора (book.pdf 2021): все 6 видов; организатор отмечает, что такая расстановка единственная.

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Начальный вход

Равенство треугольников по трём сторонам
Длина отрезка на клетчатой бумаге (теорема Пифагора) — или сравнение «сдвигов» по клеткам

Приёмы решения: Разделение пространства поиска · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →