Задача 6. Пятёрки на круге

Нумеруем числа по кругу

Пронумеруем числа по кругу: $x_1$, $x_2$, …, $x_{2025}$. За последним числом снова идёт первое, поэтому удобно продолжить нумерацию: $x_{2026}=x_1$, $x_{2027}=x_2$, $x_{2028}=x_3$ и так далее.

Пятёрка, которая начинается с числа $x_k$, — это $a=x_k$, $b=x_{k+1}$, $c=x_{k+2}$, $d=x_{k+3}$, $e=x_{k+4}$. Условие требует, чтобы для каждого $k$ от $1$ до $2025$ выполнялось

Направление обхода неважно: если читать пятёрку в обратную сторону ($e$, $d$, $c$, $b$, $a$), получится $ed+ba=db$ — то же самое равенство.

Почему стоит ждать ответа «нет»? Попробуй строить пример, как в модели: если известны $a$, $b$, $d$, то из равенства $ab+de=bd$ число $e$ находится однозначно, $e=\dfrac{b(d-a)}{d}$. Значит, первые четыре числа задают всю цепочку, и неясно, замкнётся ли она в круг. Будем рассуждать от противного: предположим, что такая расстановка есть, и придём к противоречию.

Где же число c? Домножаем на него

Странная деталь: в пятёрке пять чисел, а в равенстве $ab+de=bd$ только четыре — числа $c$ там нет. Каждое слагаемое — произведение двух чисел. Умножим обе части на $c$ (это можно: $c\ne0$). Тогда каждое слагаемое станет произведением трёх подряд стоящих чисел:

Действительно, $a$, $b$, $c$ стоят подряд; $c$, $d$, $e$ — тоже; $b$, $c$, $d$ — тоже.

Обозначим произведение трёх соседей, начиная с $x_k$, буквой $A_k$:

Тогда $abc=A_k$, $bcd=A_{k+1}$, $cde=A_{k+2}$ (рисунок ниже), и условие для пятёрки, которая начинается с $x_k$, даёт

Все $A_k$ не равны нулю: это произведения ненулевых чисел.

Две соседние пятёрки меняют знак тройки

Равенство (1) верно для каждой пятёрки. Запишем его для пятёрки, которая начинается с $x_k$, и для следующей, которая начинается с $x_{k+1}$:

Сложим эти равенства:

Слагаемые $A_{k+1}$ и $A_{k+2}$ есть в обеих частях — уберём их. Останется $A_k+A_{k+3}=0$, то есть

Итак, произведение трёх подряд стоящих чисел при сдвиге на три места меняет знак (а по величине остаётся прежним).

Проверим на цепочке из модели: $1$, $2$, $3$, $4$, $\tfrac32$, $-1$. Первые две пятёрки здесь выполнены:

И действительно, $A_1=1\cdot2\cdot3=6$, а $A_4=4\cdot\tfrac32\cdot(-1)=-6$.

Обходим круг: нечётное число смен знака

Будем сдвигаться на три места: $A_1\to A_4\to A_7\to\ldots$ Каждый сдвиг меняет знак: $A_4=-A_1$, $A_7=-A_4=A_1$, $A_{10}=-A_7=-A_1$ и так далее. После $m$ сдвигов получаем

при чётном $m$ — снова $A_1$, при нечётном — $-A_1$.

Сколько сдвигов нужно, чтобы обойти весь круг? Так как $2025=3\cdot675$, после $675$ сдвигов мы приходим к тройке с номером $1+3\cdot675=2026$, а это та же самая тройка: $A_{2026}=x_{2026}x_{2027}x_{2028}=x_1x_2x_3=A_1$. Число $675$ нечётное, поэтому

Отсюда $2A_1=0$, то есть $A_1=0$. Но $A_1=x_1x_2x_3$ — произведение ненулевых чисел, нулём оно быть не может. Противоречие (рисунок ниже).

Значит, такой расстановки не существует: равенство не может выполняться для всех пятёрок.

Что важно в числе 2025

Рассуждение использует две вещи: $2025$ делится на $3$ (сдвиги на три места возвращают к той же тройке) и частное $675$ нечётное (знак меняется нечётное число раз). Если бы чисел было, например, $2022=3\cdot674$, сдвигов было бы чётное число, и этот довод противоречия не дал бы — понадобилось бы другое рассуждение.

В модели круг из $9$ мест устроен так же, как круг из $2025$: $9=3\cdot3$, и три сдвига — тоже нечётное число. Поэтому и там выполнить все девять пятёрок нельзя: если две пары соседних пятёрок уже дали две смены знака, то $A_7=A_1$, и третья смена знака (от $A_7$ обратно к $A_1$) невозможна — одна из пятёрок, начинающихся с мест $7$ и $8$, обязательно нарушится.