Задача 1. Кабачки, друг и рагу

Выстроим кабачки в ряд

Массы всех кабачков разные, поэтому их можно выстроить в ряд от самого лёгкого к самому тяжёлому — и этот порядок единственный. Общую массу всех кабачков примем за $100\%$.

Андрей берёт «некоторое число самых маленьких» — это начало ряда. Друг получает «самые маленькие из оставшихся» — это следующий кусок ряда. Всё, что правее, идёт в рагу. Значит, каждое распределение — это две границы в ряду, и проходят они между кабачками: кабачок целиком достаётся кому-то одному.

Где стоят границы? Левее первой границы лежит то, что взял Андрей, а левее второй — то, что взяли Андрей и друг вместе. Поэтому:

• в первом распределении границы стоят там, где левее лежат $10\%$ и $10\% + 50\% = 60\%$ массы;
• во втором — там, где левее лежат $20\%$ и $20\% + 20\% = 40\%$.

Зачем так переписывать условие: вместо двух историй про «себе» и «другу» у нас один ряд и четыре отметки на нём — $10\%$, $20\%$, $40\%$ и $60\%$.

Четыре отметки — пять групп

Чем дальше вправо по ряду, тем больше масса кабачков левее этого места. Поэтому отметки идут в ряду по возрастанию: $10\%$, $20\%$, $40\%$, $60\%$ — и все они в разных местах. Они делят ряд на пять кусков подряд; назовём их группами:

• A — от $0$ до $10\%$, масса $10\%$;
• B — от $10\%$ до $20\%$, масса $10\%$;
• C — от $20\%$ до $40\%$, масса $20\%$;
• D — от $40\%$ до $60\%$, масса $20\%$;
• E — от $60\%$ до $100\%$, масса $40\%$.

В каждой группе есть хотя бы один кабачок: масса каждой группы больше нуля. И главное: любой кабачок правой группы тяжелее любого кабачка левой — ведь ряд выстроен по возрастанию (рисунок ниже).

Сколько кабачков нужно в каждой группе? В D и в E — хотя бы по одному. Дальше пойдём справа налево: зная, что есть правее, узнаем, сколько кабачков должно быть левее.

В группе C хотя бы два кабачка

Пусть в группе C всего один кабачок. Тогда он один весит все $20\%$. Каждый кабачок группы D тяжелее его, то есть тяжелее $20\%$, а в D есть хотя бы один кабачок. Значит, D весит больше $20\%$. Но D весит ровно $20\%$ — противоречие. Итак, в группе C не меньше двух кабачков.

Как это заметить: группа D той же массы, что и C, но собрана из более тяжёлых кабачков. Если бы в C был один кабачок, «тяжелее» не помещалось бы в ту же массу.

Дальше нам понадобится простой факт: если в группе $k$ кабачков и каждый тяжелее $x$, то вся группа тяжелее $k \cdot x$.

В группе B хотя бы два, в группе A хотя бы три

Группа B. Пусть в B один кабачок — тогда он весит $10\%$. Каждый кабачок группы C тяжелее его, то есть тяжелее $10\%$, а в C не меньше двух кабачков. Значит, C весит больше $2 \cdot 10\% = 20\%$, а должна ровно $20\%$. Противоречие, поэтому в B не меньше двух кабачков.

Группа A. Пусть в A не больше двух кабачков. Если кабачок один, он весит $10\%$. Если их два, то в сумме они весят $10\%$, и больший из них весит не меньше половины, то есть не меньше $5\%$. В обоих случаях самый тяжёлый кабачок группы A весит не меньше $5\%$. Каждый кабачок группы B тяжелее его, а в B не меньше двух кабачков, — значит, B весит больше $2 \cdot 5\% = 10\%$, а должна ровно $10\%$. Противоречие, поэтому в A не меньше трёх кабачков.

Складываем: кабачков не меньше чем

Что мы на самом деле использовали: если правая группа весит столько же, сколько левая (или вдвое больше), но её кабачки тяжелее, то кабачков в ней должно быть меньше (меньше, чем вдвое больше). Поэтому, идя справа налево, число кабачков в группах вынуждено расти.

Пример из девяти кабачков

Оценка подсказывает, как строить пример: в группах A, B, C, D, E должно быть ровно $3$, $2$, $2$, $1$ и $1$ кабачков. Возьмём общую массу $1000$ г; тогда массы групп — $100$, $100$, $200$, $200$ и $400$ г. Строим справа налево и следим, чтобы каждый кабачок был легче всех кабачков следующей группы:

• E — один кабачок $400$ г, D — один кабачок $200$ г;
• C — два разных кабачка, вместе $200$ г, оба легче $200$ г: например, $90$ и $110$ г;
• B — два кабачка, вместе $100$ г, оба легче $90$ г: например, $45$ и $55$ г;
• A — три кабачка, вместе $100$ г, все легче $45$ г: например, $30$, $33$ и $37$ г.

Получился ряд $30$, $33$, $37$, $45$, $55$, $90$, $110$, $200$, $400$ г: все массы разные, всего $1000$ г.

Проверим оба распределения (рисунок ниже):

• первое: Андрею три самых маленьких, $30$, $33$ и $37$ г, вместе $100$ г, это $10\%$; другу следующие пять, $45$, $55$, $90$, $110$ и $200$ г, вместе $500$ г, это $50\%$; в рагу $400$ г;
• второе: Андрею пять самых маленьких, $100 + 45 + 55 = 200$ г, это $20\%$; другу $90 + 110 = 200$ г, это $20\%$; в рагу $200 + 400 = 600$ г.

Оба раза Андрей берёт самые маленькие кабачки, а друг — самые маленькие из оставшихся, как и требует условие. Значит, $9$ кабачков могло вырасти, а меньше — нет.