Задача 2. Прямая с равными углами

Равные углы — это отражение в прямой AC

Углы $ADE$ и $CDB$ стоят при одной точке $D$ на прямой $AC$: один опирается на луч $DA$, другой — на луч $DC$, и оба лежат выше основания. Так ведёт себя луч света, отразившийся от зеркала: угол падения равен углу отражения. А «выпрямить» отражённый луч помогает симметрия.

Отразим точку $B$ относительно прямой $AC$ — получим точку $B'$ ниже основания. Симметрия сохраняет углы, поэтому

Продолжим отрезок $B'D$ за точку $D$ вверх. Угол между лучом $DA$ и этим продолжением — вертикальный к углу $CDB'$, поэтому он тоже равен $\angle ADE$. Получилось, что от луча $DA$ в одну сторону (вверх, туда, где лежит $E$) отложены два угла одной и той же величины: со стороной $DE$ и со стороной-продолжением $B'D$. Угол данной величины в одну сторону от луча откладывается единственным образом, поэтому эти стороны совпадают.

Итак, точки $B'$, $D$, $E$ лежат на одной прямой: прямая из условия проходит через точку $B'$, симметричную $B$ относительно $AC$. В модели это видно сразу: если вторую точку прямой поставить в $B'$, углы равны при любом положении $D$.

Ромб ABCB′ и две пары параллельных прямых

При симметрии длины сохраняются: $AB' = AB$ и $CB' = CB$. А $AB = BC$, потому что $AC$ — основание равнобедренного треугольника. Значит, у четырёхугольника $ABCB'$ все четыре стороны равны — это ромб.

Противоположные стороны ромба параллельны:

• $CB' \parallel AB$;
• $AB' \parallel BC$.

Зачем они нужны. Нам надо сравнить площади, а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Если вершину треугольника двигать по прямой, параллельной основанию, высота не меняется — и площадь тоже. Две пары параллельных прямых дадут два таких «переноса вершины».

Где лежат точки D, E и F

Чтобы потом вычитать площади, надо точно знать, в каком порядке лежат точки. Пусть $M$ — середина $AC$. По симметрии отрезок $BB'$ перпендикулярен $AC$ и проходит через $M$.

Прямая из условия (прямая $B'D$) пересекает прямую $BB'$ только в точке $B'$, а она ниже основания. Поэтому вся часть прямой $B'D$ выше основания лежит по ту же сторону от прямой $BB'$, что и точка $D$.

• Если $D$ лежит правее $M$ (ближе к $C$), то выше основания прямая идёт справа от $BB'$, а сторона $AB$ (кроме точки $B$) — слева. Точку $B$ прямая тоже не проходит: она встречает прямую $BB'$ только в $B'$. Значит, стороны $AB$ она не пересекает — это противоречит условию.
• Если $D = M$, прямая — это $BB'$, и $E = F = B$: треугольники вырождаются (см. допущение).
• Остаётся: $D$ лежит между $A$ и $M$. Поднимаясь от $D$, прямая идёт внутри треугольника $ABM$ и должна из него выйти. Через отрезок $BM$ она выйти не может (он лежит на прямой $BB'$, а её прямая встречает только в $B'$), поэтому выходит через сторону $AB$ — это точка $E$, причём $E \ne B$. До точки $E$ прямая идёт внутри треугольника $ABC$. Точка $F$ лежит на луче $CB$, но не в точке $C$ (прямая встречает $AC$ только в $D$), значит, выше основания — то есть слева от $BB'$. А отрезок $BC$, кроме точки $B$, лежит справа, и $F \ne B$. Значит, $F$ лежит на продолжении стороны $CB$ за точку $B$ — вне треугольника.

Отсюда порядок точек на прямой: $B'$, $D$, $E$, $F$. Пока прямая внутри треугольника, точки $F$ на ней быть не может, поэтому $F$ — дальше, чем $E$. В частности, $E$ лежит на отрезке $AB$ и на отрезке $B'F$, а $B$ лежит между $C$ и $F$.

Первый перенос: S(BCE) = S(BB′E)

Посмотрим на треугольники $BCE$ и $BB'E$. У них общая сторона $BE$, и она лежит на прямой $AB$. Высота каждого из них, проведённая к $BE$, — это расстояние от третьей вершины ($C$ или $B'$) до прямой $AB$.

Вершины $C$ и $B'$ лежат на прямой $CB'$, а она параллельна $AB$ (шаг 2). Все точки прямой, параллельной $AB$, находятся на одном и том же расстоянии от $AB$. Значит, высоты равны, и

где $h$ — расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CB'$.

Наглядно: вершину $C$ сдвинули вдоль прямой $CB'$ в точку $B'$, и площадь не изменилась.

Второй перенос и общая часть: S(AEF) = S(BB′E)

Теперь используем вторую пару: $AB' \parallel BC$, а точка $F$ лежит на прямой $BC$.

У треугольников $ABF$ и $B'BF$ общая сторона $BF$ на прямой $BC$, а вершины $A$ и $B'$ лежат на прямой $AB'$, параллельной $BC$. По той же причине, что в шаге 4,

В обоих треугольниках есть общая часть — треугольник $EBF$. Отрежем её:

• $E$ лежит на отрезке $AB$ (шаг 3), поэтому отрезок $EF$ делит треугольник $ABF$ на треугольники $AEF$ и $EBF$. Значит, $S(AEF)$ равна $S(ABF) - S(EBF)$;
• $E$ лежит на отрезке $B'F$ (шаг 3), поэтому отрезок $BE$ делит треугольник $B'BF$ на треугольники $B'BE$ и $EBF$. Значит, $S(B'BE)$ равна $S(B'BF) - S(EBF)$.

Правые части равны, значит, $S(AEF) = S(BB'E)$. Вместе с шагом 4 получаем

что и требовалось доказать.