Математика · 8 класс · Заключительный этап

У Андрея на огороде выросли кабачки, среди которых нет двух одинаковой массы. Андрей решил некоторое число самых маленьких взять себе, некоторое число самых маленьких из оставшихся отдать другу, а остальные — в рагу. При таком распределении себе он бы взял 10% от общей массы, а другу досталось бы 50%. Только друг сказал, что ему не нужно столько кабачков. Тогда Андрей распределил кабачки по-другому, но по тому же принципу: некоторое число самых маленьких себе, из оставшихся некоторое число самых маленьких другу, остальное — в рагу. После этого у Андрея и у друга оказалось по 20% общей массы кабачков. Какое наименьшее количество кабачков могло вырасти на огороде у Андрея?

Прямая пересекает основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ в точке $D$, боковую сторону $AB$ в точке $E$ и луч $CB$ в точке $F$, причем $\angle ADE = \angle CDB$. Докажите, что площади треугольников $BCE$ и $AEF$ равны.

На доске написано число $9999$. За один ход можно уменьшить одну из цифр этого числа на единицу (но так, чтобы результат был не меньше $0$). Двое по очереди делают ходы. Проигрывает тот, после хода которого впервые получится число, меньшее, чем $2024$. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его соперник?

Среди всех остатков, которые дают степени 2 при делении на нечётное число $m$, большее 1, оказалось ровно $k$ чисел, больших $m/2$. Пусть натуральное число $n$ таково, что $2^n-1$ делится на $m$. Докажите, что если число $\dfrac{2^n-1}{m}$ представлено в виде суммы различных целочисленных степеней двойки, то количество слагаемых в такой сумме делится на $k$.

Дано натуральное число $n$. Докажите, что при некотором натуральном $m$ у числа $m^3+m$ ровно один или ровно два различных простых делителя, больших $n$.

По кругу расставлены $2025$ ненулевых чисел. Может ли для любых пяти подряд идущих чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ быть выполнено равенство $ab+de=bd$?

Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что

$\angle ACB = \angle CBD = \angle DCE = \angle BDC = 30^\circ$,

Чему может быть равен угол $A$ этого пятиугольника?

В клетках таблицы $6\times 6$ расставлены все натуральные числа от $1$ до $36$ (в каждой клетке стоит одно число). Назовем уголком фигуру, которая получается удалением одной клетки из квадрата $2\times 2$. Обозначим через $m$ наименьшую сумму чисел в «уголке», а через $M$ — наибольшее из $m$ по всем возможным расстановкам чисел в таблице. Найдите $M$.