Два неравенства и полный квадрат

Объясним, зачем складывать неравенства

Во второй части есть $-2xy$, а квадраты $x^2$ и $y^2$ находятся в разных неравенствах. При сложении они образуют знакомое выражение $(x-y)^2$. Кроме того, линейные слагаемые тоже зависят от разности $x-y$:

Сумма двух неположительных выражений неположительна. Группируем её:

Квадрат действительного числа неотрицателен. Следовательно, здесь он равен нулю:

Не потеряем оба исходных ограничения

Одна прямая $x-y=3$ — лишь необходимое условие, а не готовый ответ. У подходящей пары сумма двух неположительных частей равна нулю. Если хотя бы одна была строго отрицательной, сумма тоже была бы отрицательной. Поэтому обе части равны нулю.

Подставим $y=x-3$ в первую:

Отсюда

Для каждого $x$ значение $y$ однозначно задано формулой $y=x-3$.

Проверим достаточность и согласуем знаки

Для обеих найденных пар первая часть равна $x^2-18=0$. Во второй после той же подстановки получаем

Значит, обе пары действительно удовлетворяют двум неравенствам:

Знаки связаны: плюс у $x$ соответствует плюсу перед корнем у $y$. Независимый выбор знаков дал бы лишние пары, не лежащие на $x-y=3$.