Каждая пара носков

Зафиксируем один носок

Считать все пары сразу не нужно: достаточно проверить, может ли выполняться условие хотя бы для одного выбранного носка.

Пусть нужное расписание существует и этот носок надет в течение $d$ дней. Каждый такой день он встречается с $37$ другими носками, потому что всего надевают $38$.

Ни один партнёр не должен повторяться в разные дни: иначе одна и та же пара была бы надета дважды.

Проверим обязательную делимость

У выбранного носка всего $570-1=569$ возможных партнёров. Встречи должны разбить их на непересекающиеся группы по $37$:

Но

После $15$ полных групп остаётся $14$ партнёров. Ещё один день потребовал бы $37$ новых, а повторения запрещены. Поэтому целого числа $d$ не существует.

Перенесём противоречие на всё расписание

Если бы общее расписание существовало, выбранный носок выполнял бы найденное необходимое условие. Оно невозможно, значит, невозможно и расписание — независимо от общего числа дней и порядка выбора комплектов.

Для доказательства невозможности достаточно одного нарушенного необходимого условия; конструировать все комплекты не требуется.