Надежда энергетики 2025/26 · Математика · 8 кл., №1

Условие

На табло в ряд записаны $2$ и $3$ Ровно в $7{:}00$ между ними вставляют число $5$ Далее в начале каждого часа между каждой парой соседних чисел одновременно вставляют их сумму; прежние числа остаются на своих местах. Найдите сумму всего ряда в $13{:}15$ Предложите способ вычислить такую сумму к $7{:}00$ следующего дня, учитывая и добавление, происходящее ровно в $7{:}00$

О задаче · 8 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Надежда энергетики
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 17881 · задача 1

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Сумма растёт — крайние числа остаются

Первые два добавления показаны целиком. Все суммы соседей на одном шаге вычисляются из старого ряда.

1. До 7:00

Исходный ряд; сумма $S_0=5$

2. 7:00

Между соседями появляется $2+3=5$ Сумма $S_1=10$

3. 8:00

Одновременно появляются $2+5=7$ и $5+3=8$ Сумма $S_2=25$

Кнопки показывают именно целые шаги; автоматического изменения и новых вставок внутри уже идущего шага нет.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Проследите на ряде $2,5,3$ сколько раз каждое старое число участвует в суммах соседей. Чем крайние числа отличаются от внутренних?

Подсказка 2

Крайние числа всегда $2$ и $3$ Выразите сумму вставленных чисел через старую сумму $S$ Отдельно посчитайте добавления, включая самое первое.

Разобрать решение по шагам

Посмотрим на первые два добавления

Сначала ряд меняется так:

2,3\quad\longrightarrow\quad2,5,3\quad\longrightarrow\quad2,7,5,8,3.

Суммы равны $5$ $10$ $25$ Сам ряд быстро растёт, поэтому будем искать правило сразу для суммы. В последнем переходе средняя пятёрка участвовала в двух вставленных числах: $2+5$ и $5+3$ Крайние двойка и тройка участвовали только по одному разу.

Посчитаем вклад каждого старого числа

Пусть сумма ряда перед добавлением равна $S$ Если удвоить эту сумму, мы посчитаем каждое число дважды. Но в сумме соседних пар крайние $2$ и $3$ должны учитываться по одному разу. Значит, сумма вставленных чисел равна

2S-2-3=2S-5.

Старые числа тоже остаются. Новая сумма поэтому равна

S+(2S-5)=3S-5.

Обозначим через $S_n$ сумму после $n$ добавлений. Получили правило:

S_0=5,\qquad S_{n+1}=3S_n-5.

Не пропустим добавление в начальный момент

В $7{:}00$ уже происходит первое добавление. К $13{:}15$ состоялись действия в $7{:}00$ $8{:}00$ $9{:}00$ $10{:}00$ $11{:}00$ $12{:}00$ и $13{:}00$ — всего семь.

Момент	Число добавлений $n$	Сумма $S_n$
До $7{:}00$	$0$	$5$
$7{:}00$	$1$	$10$
$8{:}00$	$2$	$25$
$9{:}00$	$3$	$70$
$10{:}00$	$4$	$205$
$11{:}00$	$5$	$610$
$12{:}00$	$6$	$1825$
$13{:}00$	$7$	$5470$

Между $13{:}00$ и $13{:}15$ ничего не добавляется, поэтому ответ остаётся $5470$

Вычислим сумму к следующему утру

К $7{:}00$ следующего дня, включая действие в этот момент, выполнено $25$ добавлений: первое начальное и ещё $24$ через каждый час. Уже найденное правило позволяет вычислить $S_{25}$ последовательно, не выписывая ряд.

Можно получить и короткую формулу. Хотим убрать постоянное вычитание $5$ из правила. Найдём число $c$ которое само не менялось бы при этом действии:

3c-5=c,\qquad c=\frac52.

Тогда разность между суммой и этим числом на каждом шаге просто утраивается:

S_{n+1}-\frac52=3\left(S_n-\frac52\right).

Вначале $S_0-\frac52=\frac52$ После $n$ утроений получаем

S_n-\frac52=\frac52\cdot3^n,\qquad S_n=\frac{5(3^n+1)}2.

Поэтому сразу после утреннего добавления

S_{25}=2\,118\,221\,523\,610.

Непосредственно перед ним было бы только $24$ шага: это другой момент.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

В $13{:}15$ $5470$ Для следующего утра: $S_0=5$ $S_{n+1}=3S_n-5$ после $25$ добавлений $S_{25}=2\,118\,221\,523\,610$ .

Главная идея

Вместо растущего ряда отслеживаем нужную сумму и вклад каждого старого элемента в следующий шаг.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если элементы добавляются по одному и тому же локальному правилу, а спрашивают общую сумму, посчитайте кратность вклада одного старого элемента. Граничные элементы могут учитываться иначе.

Возможная ошибка

Считать только шесть действий к $13{:}15$ или $24$ к следующему утру. Первое добавление выполняется уже в исходный момент $7{:}00$

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Надежда энергетики · 2025/26 · математика · 8 класс · заключительный этап · вариант 17881.

Официальное решение · страницы 1 ↗

Сохранён существующий учебный разбор. В новой редакции проверены формулы, перебор случаев и геометрия схем; новая слепая сверка с официальным решением не проводилась.

Примечания к источнику

В официальном PDF условий указан вариант 17881. В PDF решений напечатано 11881; все пять условий совпадают с финальным вариантом 17881. Формулировка адаптирована, объяснение подготовлено самостоятельно.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Последовательности и суммы →

Тема, знания и приёмы

Последовательности и суммы · Нужна школьная база

Целые степени
числовые последовательности

Приёмы решения: Переход от шага к следующему

Задать вопрос по задаче →