Четыре помощника и овощи

Ограничим наименьшую массу

Каждая из пар Паша–Женя и Саша–Валя дала половину всех очисток, то есть $9$ кг. Пусть у Саши $s$ кг, тогда у Вали $9-s$ кг.

Все массы целые. У Саши не может быть $0$ кг: каждый мешок даёт положительную массу очисток, а без мешков нельзя опередить Пашу, очистившего картофель.

Если бы минимальная масса была хотя бы $4$ кг, четыре попарно различные массы в сумме дали бы не меньше

Следовательно, $s$ может равняться только $1$, $2$ или $3$.

Найдём, что чистили Саша и Валя

Каждый мешок даёт хотя бы $1$ кг очисток, поэтому число мешков Саши не больше $s$.

При $s=1$ у неё не больше одного мешка, а у Вали $8$ кг. Поскольку один мешок даёт не более $5$ кг, Валя очистила не меньше двух. Саша не могла опередить её.

При $s=2$ у Саши не больше двух мешков, у Вали $7$ кг и снова не меньше двух мешков. Строгого превосходства опять нет.

Остаётся $s=3$, у Вали $6$ кг. Валя очистила не менее двух мешков, значит, Саша — не менее трёх. Три килограмма очисток от трёх мешков получаются только при трёх мешках лука.

Теперь у каждого другого не больше двух мешков. Валя должна получить $6$ кг с двух мешков и без картофеля. Из масс $1$, $2$, $4$ единственная подходящая пара — $2+4=6$: помидоры и морковь.

Разберём пару Паша–Женя

У Паши не меньше $5$ кг, потому что он чистил картофель. У Жени больше $3$ кг: масса Саши строго наименьшая. Поэтому их суммарные $9$ кг распределяются единственным образом:

Пять килограммов Паши уже полностью приходятся на единственный мешок картофеля — других мешков у него нет.

Всего помидоры дали $6$ кг, значит, их было $\frac62=3$ мешка. Один мешок у Вали, у Саши и Паши помидоров нет. Два оставшихся мешка достаются Жене и дают её $4$ кг.

Проверим все требования по таблице

Массы $5$, $3$, $6$, $4$ попарно различны, их сумма равна $18$, а суммы по указанным парам совпадают:

Саша очистила строго больше мешков, чем каждый другой. Помидоров три мешка, картофеля один. Все условия выполнены; на предыдущих шагах другие возможности были исключены.