Квадрат у стороны прямоугольника

Увидим два одинаковых квадрата

Пусть $AB=a$. Тогда $BC=2a$ и, поскольку $M$ — середина, $BM=MC=a$. Прямоугольник состоит из двух квадратов со стороной $a$.

Соединим $M$ с $A$ и $D$. Отрезки $MA$ и $MD$ — диагонали этих двух квадратов, поэтому равны. Диагональ квадрата делит его прямой угол пополам, значит, каждый из углов $AMB$ и $DMC$ равен $45^\circ$.

Вся развёрнутая сторона $BC$ даёт $180^\circ$, поэтому

Равные расстояния и прямой угол — признаки поворота вокруг $M$, переводящего $A$ в $D$.

Применим один поворот сразу к двум концам

Повернём плоскость вокруг $M$ на $90^\circ$ в направлении от луча $MA$ к лучу $MD$. Точка $A$ попадёт точно в $D$: нужный луч получен, а расстояние до центра сохранилось.

У квадрата также $ML=MN$ и $\angle LMN=90^\circ$. По указанной в условии нумерации направление от $ML$ к $MN$ совпадает с выбранным направлением поворота. Поэтому этот же поворот переводит $L$ в $N$.

Значит, концы отрезка $AL$ переходят в концы отрезка $DN$. Поворот сохраняет расстояние между точками, откуда

Открыть модель к этому разбору ↑

Проверим, от чего зависело доказательство

В доказательстве использованы только два факта: $M$ — середина длинной стороны прямоугольника с отношением сторон $2:1$, а $KLMN$ — квадрат с указанным порядком вершин.

Мы не предполагали, что квадрат целиком лежит внутри прямоугольника, не фиксировали его размер и угол $CMN$. Поэтому при пересечении $AD$ равенство сохраняется. В наглядной последовательности показаны и внутреннее положение, и допустимое положение с пересечением: в обоих случаях один поворот связывает те же пары точек.