Надежда энергетики 2025/26 · Математика · 5 кл., №4

Условие

Найдите площадь закрашенной фигуры на рисунке. Сторона клетки равна $1$ Пунктирные отрезки проходят внутри фигуры.

Точный рисунок на сетке. Вспомогательные прямоугольники появятся в разборе.

О задаче · 5 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Надежда энергетики
Предмет / класс: Математика · 5 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 17551 · задача 4

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 5 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Обозначьте пересечение пунктирных диагоналей через $O$ На какой высоте клетки оно находится?

Подсказка 2

Разделите фигуру по $OD$ на $ABCO$ и $FDE$ Окружающие прямоугольники помогут найти площади.

Разобрать решение по шагам

Находим точку O

Обозначим пересечение пунктирных отрезков через $O$ Сначала нужно точно найти его положение: от этого зависят высоты окружающих прямоугольников.

Отрезок $AE$ — диагональ прямоугольника шириной восемь клеток и высотой пять клеток. Середина диагонали совпадает с центром прямоугольника: точкой, находящейся посередине и по ширине, и по высоте. Поэтому от $A$ до середины — четыре клетки вправо и $2{,}5$ вниз.

Отрезок $FD$ — диагональ другого прямоугольника, шириной четыре клетки и высотой три. Его середина тоже находится в центре этого прямоугольника: две клетки вправо и $1{,}5$ вверх от $F$

По сетке обе середины попадают в одну точку: на четыре клетки правее левого края и на $4{,}5$ клетки ниже верхнего края. Значит, это и есть пересечение $O$ Оно лежит посередине высоты клетки.

По отрезку $OD$ разделим фигуру на верхнюю часть $ABCO$ и нижний треугольник $FDE$ На рисунке они выделены разными цветами.

Золотой контур — прямоугольник с диагональю

AE

зелёный — с диагональю

FD

Их центры совпадают в точке

O

четыре клетки вправо и

4{,}5

вниз от левого верхнего угла сетки.

Верхняя часть

Окружим $ABCO$ прямоугольником шириной $10$ клеток и высотой $4{,}5$ клетки. Его площадь:

10\cdot4{,}5=45.

Лишними остаются три прямоугольных треугольника по углам. Каждый такой треугольник — половина своего прямоугольника: диагональ делит прямоугольник на две одинаковые части. Поэтому произведение двух сторон у прямого угла делим на $2$

По сетке получаем:

Уголок	Стороны у прямого угла	Площадь
Слева вверху	$5$ и $2$	$5\cdot2:2=5$
Справа	$6$ и $4{,}5$	$6\cdot4{,}5:2=13{,}5$
Слева внизу	$4$ и $2{,}5$	$4\cdot2{,}5:2=5$

Вычитаем их из площади большого прямоугольника:

S_1=45-5-13{,}5-5=21{,}5.

Прямоугольник

10\times4{,}5

окружает

ABCO

Вычитаем три угловых треугольника.

Нижняя часть

Окружим треугольник $FDE$ прямоугольником шириной $6$ клеток и высотой $4$ клетки. Площадь прямоугольника:

6\cdot4=24.

Снова убираем три угловых треугольника. Каждый — половина прямоугольника с указанными сторонами:

Уголок	Стороны у прямого угла	Площадь
Слева вверху	$4$ и $3$	$4\cdot3:2=6$
Справа вверху	$2$ и $4$	$2\cdot4:2=4$
Снизу	$6$ и $1$	$6\cdot1:2=3$

Площадь нижней части:

S_2=24-6-4-3=11.

Прямоугольник

6\times4

окружает

FDE

Вычитаем три оставшихся уголка.

Складываем без перекрытия

Две части не перекрываются: общая только граница $OD$ Складываем:

S=21{,}5+11=32{,}5.

Ответ

$32{,}5$ квадратной клетки.

Главная идея

Наклонную фигуру бывает проще окружить прямоугольниками и вычесть знакомые треугольники.

Как заметить эту идею в другой задаче

У наклонной фигуры вершины видны на сетке. Окружите части прямоугольниками и вычитайте прямоугольные треугольники; отдельно найдите точки пересечения, не попавшие в узлы.

Возможная ошибка

Принять O за узел сетки. Эта точка находится посередине между двумя горизонтальными линиями.

Источник и примечания