Четыре цифры без тройной серии

Без ограничения на серии

На первом месте $5$ вариантов: $1$–$5$. На двух средних — по $6$. Последняя цифра — $1,2,3,4$, иначе число делится на $5$. Всего

Первые три цифры одной чётности

Сначала посчитаем запрещённые числа, у которых первые три цифры одной чётности.

Если они чётные, первая цифра — $2$ или $4$, следующие две — любая из $0,2,4$. Последняя цифра пока любая из $1,2,3,4$:

Если первые три нечётные, для каждого из этих мест подходят $1,3,5$:

Получили $72+108=180$ запрещённых чисел.

Последние три цифры одной чётности

Теперь посчитаем числа, у которых последние три цифры одной чётности. Первая цифра может быть любой из пяти ненулевых.

Для чётной серии две средние цифры выбираются из $0,2,4$, а последняя — из $2,4$, поскольку ноль на конце запрещён:

Для нечётной серии средние цифры выбираются из $1,3,5$, последняя — из $1,3$, поскольку пятёрка на конце запрещена. Снова получаем $90$ чисел.

Всего во второй группе $90+90=180$ чисел.

Возвращаем дважды вычтенное

Число $2222$ попало в обе запрещённые группы. Если из $720$ дважды вычесть по $180$, такое число будет удалено два раза. Чтобы убрать его только один раз, один раз прибавим его обратно.

В обе группы попадают ровно числа, у которых все четыре цифры одной чётности: первые три и последние три имеют общие средние цифры.

Полностью чётных чисел:

Полностью нечётных:

Значит, дважды вычтены $36+54=90$ чисел. Возвращаем их один раз:

Теперь каждое запрещённое число удалено ровно один раз, а все подходящие остались.