Бельчонок 2025/26 · Физика · 8 кл., №5 — решение · финал

Условие

В двух теплоизолированных цилиндрических сосудах, соединённых тонкой теплопроводящей перегородкой по всей высоте, находятся разные жидкости. В левом сосуде вода плотностью $\rho_{\text{в}}=1000\text{ кг/м}^3$ , удельной теплоёмкостью $c_{\text{в}}=4200\text{ Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}$ , массой $m_{\text{в}}=0{,}6\text{ кг}$ с начальной температурой $t_{\text{в}0}=40^\circ\text{C}$ . В правом сосуде раствор соли плотностью $\rho_{\text{р}}=1100\text{ кг/м}^3$ , удельной теплоёмкостью $c_{\text{р}}=3800\text{ Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}$ , массой $m_{\text{р}}=0{,}4\text{ кг}$ с начальной температурой $t_{\text{р}0}=30^\circ\text{C}$ . В каждом сосуде плавает по одной льдине. Масса каждой льдины по $M_{\text{л}}=150\text{ г}$ и с температурой $0^\circ\text{C}$ Плотность льда $\rho_{\text{л}}=900\text{ кг/м}^3$ . В левую льдину вморожен алюминиевый шарик объёмом $V_{\mathrm{Al}}=5\text{ см}^3$ , плотность $\rho_{\mathrm{Al}}=2700\text{ кг/м}^3$ . В правую льдину вморожен стальной шарик объёмом $V_{\text{ст}}=2\text{ см}^3$ , плотность $\rho_{\text{ст}}=7800\text{ кг/м}^3$ . Шарики соединены лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок, расположенный над перегородкой. Сначала, система находится в равновесии, нить натянута. Но, в процессе теплообмена жидкости охлаждаются, льдины тают. Вода от таяния испаряется и не влияет на плавание льдин. Объём жидкостей в сосудах при этом не меняется. В некоторый момент сила натяжения нити становится равной нулю, а льдины с шариками плавают, полностью погружённые в жидкость. Найдите температуру жидкостей $t$ в этот момент времени. Удельная теплота плавления льда $\lambda=330\text{ кДж/кг}$ , ускорение свободного падения $g=10\text{ м/с}^2$ Теплоёмкостью сосудов, перегородки, нити и блока пренебречь.

О задаче · 8 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Физика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy5/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

При нулевом натяжении полностью погружённое составное тело должно иметь вес, равный силе Архимеда.

Подсказка 2

Плавание позволяет найти остаток льда, но затем проверьте, какие потоки тепла допускает условие.

Разобрать решение по шагам

Определим остаток льда из плавания

Обозначим натяжение нити через $T$ оставшуюся массу самого льда — через $m$ объём и плотность шарика — через $V_\text{ш}$ и $\rho_\text{ш}$ плотность жидкости — через $\rho$ В рассматриваемый момент $T=0$ натяжение уже не поддерживает тело, и его вес равен силе Архимеда. Полный погружённый объём равен $m/\rho_\text{л}+V_\text{ш}$ , полная масса — $m+\rho_\text{ш}V_\text{ш}$ . Поэтому

\rho g\left(\frac m{\rho_\text{л}}+V_\text{ш}\right)=g(m+\rho_\text{ш}V_\text{ш}).

Сократим $g$ и перенесём члены с $m$ влево:

m\left(\frac\rho{\rho_\text{л}}-1\right)=(\rho_\text{ш}-\rho)V_\text{ш}.

Отсюда

m=\frac{(\rho_\text{ш}-\rho)V_\text{ш}}{\rho/\rho_\text{л}-1}.

Вычислим, сколько льда растаяло

Переведём объёмы: $5\text{ см}^3=5\cdot10^{-6}\text{ м}^3$ , $2\text{ см}^3=2\cdot10^{-6}\text{ м}^3$ . Для левого сосуда

m_\text{лев}=\frac{(2700-1000)\cdot5\cdot10^{-6}}{1000/900-1}=0{,}0765\text{ кг}.

Для правого

m_\text{прав}=\frac{(7800-1100)\cdot2\cdot10^{-6}}{1100/900-1}=0{,}0603\text{ кг}.

Исходные $0{,}150$ кг в каждом сосуде — масса самого льда; вычитаем найденные остатки.

Сосуд	Остаток льда	Растаявший лёд
Левый	$76{,}5\text{ г}$	$73{,}5\text{ г}$
Правый	$60{,}3\text{ г}$	$89{,}7\text{ г}$

Почему температура не следует однозначно

Теплопроводящая перегородка переносит тепло между жидкостями, поэтому два раздельных баланса «охлаждение своей жидкости = плавление своей льдины» неверны без учёта этого переноса. Кроме того, в условии прямо сказано об испарении талой воды: оно требует энергии, но ни теплота испарения, ни источник этой энергии не указаны. Само наличие тонкой перегородки ещё не означает равенства температур в каждый момент.

Справочный расчёт для изменённой модели

Теперь используем только объявленную изменённую модель: воду удаляют при $0^\circ\text{C}$ без затрат энергии, лёд и шарики остаются при $0^\circ\text{C}$ а обе жидкости имеют общее $t$ Суммарная растаявшая масса равна $0{,}0735+0{,}0897=0{,}1632$ кг. Для её плавления нужно

Q=330000\cdot0{,}1632=53856\text{ Дж}.

Теплообмен через перегородку переносит энергию внутри двух сосудов, поэтому в общем балансе отдельно не добавляется:

0{,}6\cdot4200(40-t)+0{,}4\cdot3800(30-t)=53856.

Раскроем скобки:

146400-4040t=53856,\qquad t=\frac{92544}{4040}\approx22{,}91^\circ\text{C}.

Полученное число совпадает с официальным расчётом, который не включает затраты на указанное в условии испарение. Поэтому это проверенный результат названной изменённой модели, а не единственная температура, следующая из оригинала.

Ответ

Плавание даёт остатки льда $76{,}5$ и $60{,}3\text{ г}$ Температура по буквальному условию однозначно не определяется: не задана энергетика испарения и теплопередачи. При отдельно оговорённой модели общего $t$ без затрат на удаление воды получается $22{,}91^\circ\text{C}$