Бельчонок 2025/26 · Физика · 7 кл., №5 — решение · финал

Условие

Экспериментатор исследовал скорость всплытия маленьких пузырьков в жидкости. Он обнаружил, что скорость установившегося всплытия маленького пузырька в вязкой жидкости пропорциональна трём параметрам: весу вытесненного объёма жидкости, отнесённого к единице объёма ( $\Delta\rho\,g$ ), радиусу пузырька ( $r$ ) и вязкости жидкости ( $\eta=0{,}001\text{ кг/(м}\cdot\text{с)}$ — величина, характеризующая меру внутреннего трения в жидкости), через коэффициент пропорциональности $k=\frac29$ Предположим, что жидкость — вода ( $\rho=1000\text{ кг/м}^3$ ). Пузырёк воздушный ( $\rho=1{,}2\text{ кг/м}^3$ ) с радиусом $0{,}5\text{ мм}$ Ускорение свободного падения — $g=9{,}8\text{ м/с}^2$ Разность плотностей жидкости и газа внутри пузырька — $\Delta\rho$ Какова должна быть скорость пузырька?

О задаче · 7 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Физика · 7 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Ищите степенную зависимость от трёх параметров: неизвестны показатели степеней.

Подсказка 2

Сравните отдельно степени килограмма, метра и секунды в левой и правой частях.

Разобрать решение по шагам

Запишем модель и размерности

Для размерностного анализа используем степенную модель $v=k(\Delta\rho\,g)^a r^b\eta^c$ , где $k$ безразмерен. Это уточнение слова «пропорциональна»: буквальная линейная зависимость от всех трёх параметров размерностям скорости не соответствует.

Величина	Размерность
$v$	$\mathrm{м\,с^{-1}}$
$\Delta\rho\,g$	$\mathrm{кг\,м^{-2}\,с^{-2}}$
$r$	$\mathrm{м}$
$\eta$	$\mathrm{кг\,м^{-1}\,с^{-1}}$

Найдём показатели

Справа размерность равна $\mathrm{кг}^{a+c}\mathrm{м}^{-2a+b-c}\mathrm{с}^{-2a-c}$ . Совпадение степеней даёт

a+c=0,\qquad -2a+b-c=1,\qquad -2a-c=-1.

Из первого уравнения $c=-a$ из третьего $a=1$ затем $c=-1$ и $b=2$ Следовательно,

v=\frac{2\Delta\rho\,g r^2}{9\eta}.

Подставим величины в СИ

$\Delta\rho=1000-1{,}2=998{,}8\text{ кг/м}^3$ , $r=0{,}0005\text{ м}$

v=\frac{2\cdot998{,}8\cdot9{,}8\cdot(0{,}0005)^2}{9\cdot0{,}001}\approx0{,}544\text{ м/с}.

Это численное предсказание заданной степенной модели. Размерностный анализ не доказывает её применимость при любых размерах пузырька.

Ответ

В степенной модели с безразмерным $k=\frac29$ $v=\frac{2\Delta\rho\,g r^2}{9\eta}\approx0{,}544\text{ м/с}$ .

Главная идея

Одинаковые физические величины должны иметь одинаковую размерность; это определяет показатели степеней.

Как заметить эту идею в другой задаче

Дана зависимость от нескольких параметров, но отсутствуют степени — сравните размерности.

Возможная ошибка

Подставить радиус в миллиметрах в формулу СИ или заменить квадрат радиуса первой степенью.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 6 · задача 5 ↗

Бельчонок · 2025/26 · физика · 7 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 6, 7 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Плотность и измерения · Нужна школьная база

Единицы СИ
Степени
Размерность скорости и плотности

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →