Бельчонок

В одной песне возник спор между Вертолётом, Самолётом и Пешеходом. Победит тот, кто первым достигнет Финиша. Участники движутся не равномерно, а меняют режимы, поэтому для победы важна средняя скорость. Гонка проходит по прямой трассе длиной $L$ от Старта (обрыв, $x=0$) до Финиша. Все стартуют в момент времени $t=0$ из точки $x=0$, но не одновременно. Самолёт стартует первым в $t=0$. Самолёт первые $90\text{ км}$ летит со скоростью $v_{\mathrm{с}1}=120\text{ км/ч}$, затем снижает скорость до $v_{\mathrm{с}2}=60\text{ км/ч}$. Вертолёт стартует позже через $\tau$ часов и летит всю дистанцию с постоянной скоростью $v_{\mathrm{в}}=75\text{ км/ч}$. Пешеход стартует вместе с Вертолётом (с задержкой $\tau$ часов). $\frac13$ пути Пешеход бежит на лыжах со скоростью $v_{\mathrm{п}1}=15\text{ км/ч}$, оставшиеся $120\text{ км}$ идёт со скоростью $v_{\mathrm{п}2}=5\text{ км/ч}$. Длина трассы $L=180\text{ км}$. Задержка времени $\tau=2\text{ часа}$. 1. Найдите среднюю скорость каждого участника на всей дистанции. 2. Через какое время после своего старта финиширует каждый участник? 3. Успеет ли Пешеход догнать и обогнать Вертолёт до финиша? Если да, то на каком расстоянии от Старта? 4. Кто выиграет гонку (придёт к финишу первым)?

Рассмотрим шахматную доску как сетку, состоящую из $9\times9$ узлов. По этой сетке движутся объекты. Из некоторого узла одновременно стартуют и движутся по часовой стрелке два объекта: Бегун №1 и Бегун №2. Скорость будем задавать в узлах в секунду. То есть, пробегая от узла с координатами $(1,1)$ до узла с координатами $(1,3)$ за $1$ секунду, скорость будет $3$ узла в секунду (узла/с). Через сколько секунд Бегун №1 впервые догонит Бегуна №2? Бегун №1 двигается по прямоугольнику, заданному следующими координатами узлов шахматной доски: $(3,3)$, $(7,3)$, $(7,7)$, $(3,7)$. Скорость: $6$ узлов/с. Бегун №2 — по прямоугольнику, заданному координатами: $(3,3)$, $(5,3)$, $(5,5)$, $(3,5)$. Скорость: $3$ узла/с.

Два исследовательских зонда «Альфа» и «Бета» движутся по прямолинейному экспериментальному тоннелю длиной $L=100\text{ м}$ между порталами $A$ ($x=0\text{ м}$) и $B$ ($x=100\text{ м}$). Из-за неоднородных свойств среды в тоннеле скорость каждого зонда зависит от его положения. Для описания этой зависимости введена безразмерная координата: $u=\frac{2x}{L}-1$, где $x$ — расстояние от портала $A$. При этом $u$ изменяется от $-1$ (портала $A$) до $+1$ (портала $B$). Характеристикой взаимодействия зонда со средой является коэффициент медленности $k(u)$ (секунда/метр, $\text{с/м}$), обратный скорости зонда: $k(u)=\frac1{v(u)}$. Значения $k(u)$ для каждого зонда заданы на рисунке. Зонд «Альфа» стартует от портала $A$ ($u=-1$) в направлении портала $B$. Зонд «Бета» стартует от портала $B$ ($u=+1$) в направлении портала $A$. 1. Найдите время $t$ и место $x$ (расстояние от портала $A$) встречи зондов. 2. Определите полное время цикла (туда и обратно) для каждого зонда. 3. Через какое время $T_{\text{центр}}$ после старта зонды впервые окажутся в центре тоннеля ($u=0$)?

В цилиндрическом стакане (площадь сечения $S=50\text{ см}^2$) провели два опыта. Опыт 1. В стакан налили глицерин $\rho_{\text{ж}}=1{,}26\text{ г/см}^3$ до $h_1=10\text{ см}$. Затем в глицерин насыпали стальную дробь (плотность стали $\rho_{\text{д}}=7{,}8\text{ г/см}^3$) до уровня $h_1$. Масса дроби $m_{\text{д}}=2730\text{ г}$. Опыт 2. В стакан насыпали сухой кварцевый песок до высоты $h_2=12\text{ см}$, затем залили глицерином до верха. Общая высота $H=18\text{ см}$. Масса содержимого после второго опыта $M=1550\text{ г}$. Коэффициент пористости $\varphi$ (доля пор между сыпучим материалом, относительно занимаемого им объёма в стакане) одинаков в обоих опытах. Найдите плотность кварцевого песка $\rho_{\text{п}}$ (плотность вещества песчинок).

Экспериментатор исследовал скорость всплытия маленьких пузырьков в жидкости. Он обнаружил, что скорость установившегося всплытия маленького пузырька в вязкой жидкости пропорциональна трём параметрам: весу вытесненного объёма жидкости, отнесённого к единице объёма ($\Delta\rho\,g$), радиусу пузырька ($r$) и вязкости жидкости ($\eta=0{,}001\text{ кг/(м}\cdot\text{с)}$ — величина, характеризующая меру внутреннего трения в жидкости), через коэффициент пропорциональности $k=\frac29$. Предположим, что жидкость — вода ($\rho=1000\text{ кг/м}^3$). Пузырёк воздушный ($\rho=1{,}2\text{ кг/м}^3$) с радиусом $0{,}5\text{ мм}$. Ускорение свободного падения — $g=9{,}8\text{ м/с}^2$. Разность плотностей жидкости и газа внутри пузырька — $\Delta\rho$. Какова должна быть скорость пузырька?