Бегуны на двух квадратах

Что требуется уточнить в условии

Обычная скорость измеряет пройденную длину. Здесь пример считает вместе оба конца: три узла соответствуют двум рёбрам сетки. Далее рассмотрим условную трактовку: скорости равны $5$ и $2$ рёбрам в секунду. Она требует явного принятия; пример в условии сам по себе не задаёт аддитивную единицу длины. Кроме того, начальный общий узел не назван.

Условный расчёт для старта из общей вершины

Если оба стартуют из $(3,3)$, причём сначала движутся вдоль одной общей стороны, длины кругов равны $16$ и $8$ рёбрам. Периоды:

Одновременный возврат в начало требует $\frac{16n}{5}=4m$, то есть $4n=5m$. Наименьшие положительные числа кругов — $n=5$, $m=4$, что даёт $t=16\text{ с}$.

Проверим, что для старта (3,3) встреча первая

Контуры имеют два общих отрезка: верхний от $(3,3)$ до $(5,3)$ и левый от $(3,3)$ до $(3,5)$. На первом круге №1 проходит их в промежутки $0\ldots0{,}4$ и $2{,}8\ldots3{,}2$ с; эти промежутки повторяются через $3{,}2$ с. У №2 соответствующие промежутки — $0\ldots1$ и $3\ldots4$ с, с повторением через $4$ с. До $16$ с одновременное движение по одному общему отрезку возможно только в четырёх промежутках ниже. Разность скоростей равна $5-2=3$ ребрам/с. Между верхним и левым отрезками общая только точка $(3,3)$; её также учитывают границы этих промежутков.

Контрпример к единственному ответу

Теперь выберем другой разрешённый общий начальный узел $(4,3)$; движение сначала вправо. Пусть встреча произошла на левой общей стороне в точке $(3,y)$. До неё №1 проходит $3+4+4+(7-y)=18-y$ рёбер, а №2 — $1+2+2+(5-y)=10-y$. Поэтому

Получаем $y=14/3$ и

Это первая встреча: на начальном общем верхнем отрезке №1 сразу уходит вперёд; затем до $2{,}6$ с он не входит в общую левую часть. Оба идут по ней только начиная с $2{,}6$ с, и вычисленный момент $8/3$ с принадлежит этому промежутку. Так два разрешённых старта дают разные времена. Официальные $16$ с верны для первого явно принятого старта; утверждение, что контуры имеют всего одну общую точку, неверно.