Бельчонок 2025/26 · Математика · 5 кл., №5 — решение · финал

Условие

Бельчата Ух, Тюх и Плюх принесли несколько грибов. Каждый принёс не больше $2$ грибов. Ух сказал: «Тюх принёс $2$ гриба». Тюх сказал: «Плюх принёс $2$ гриба». Плюх сказал: «Ух принёс $2$ гриба». Ух сказал: «Все вместе мы принесли $3$ гриба». Тюх сказал: «Все вместе мы принесли $4$ гриба». Плюх сказал: «Все вместе мы принесли $5$ грибов». Каждый солгал столько раз, сколько грибов он принёс. Сколько грибов принёс каждый из бельчат?

О задаче · 5 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 5 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 5 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Ноль грибов означал бы, что обе фразы бельчонка правдивы. Проверьте, может ли такое произойти.

Подсказка 2

Сложите количество ложных фраз всех троих: по условию оно равно общему числу грибов.

Разобрать решение по шагам

Исключим отсутствие грибов

Если у Уха $0$ обе его фразы верны: у Тюха $2$ всего $3$ значит, у Плюха $1$ Но обе фразы Плюха тогда ложны — противоречие. Если у Тюха $0$ то у Плюха $2$ всего $4$ значит, у Уха $2$ тогда первая фраза Плюха правдива, хотя при двух грибах он должен солгать дважды. Если у Плюха $0$ то у Уха $2$ всего $5$ и у Тюха получилось бы $3$ гриба. Итак, у каждого по $1$ или $2$ гриба.

Посчитаем ложь вместе

Обозначим общее число грибов $s$ При $s=6$ у всех по $2$ поэтому первые фразы правдивы, а вторые ложны: каждый солгал лишь раз. Этот случай невозможен. Остаются $s=3,4,5$ Среди вторых фраз тогда ровно две ложные. Первая фраза ложна ровно тогда, когда названный сосед принёс $1$ гриб. Таких бельчат $6-s$ ведь если бы у всех было по два, получилось бы шесть грибов. Значит, всего ложных фраз $2+(6-s)$ По условию это равно $s$ поэтому $s=4$

Определим, у кого два гриба

При сумме $4$ у одного бельчонка два гриба, у остальных по одному. Вторая фраза Тюха верна, поэтому он не мог солгать дважды: у него $1$ У Плюха вторая фраза ложна. Если бы у Плюха было $2$ у Уха было бы $1$ тогда у Уха обе фразы оказались бы ложными, что невозможно. Значит, у Плюха $1$ а у Уха $2$

Проверим обе фразы каждого

Сумма грибов равна $4$ Получаем:

Бельчонок	Первая фраза	Вторая фраза	Ложных фраз / грибов
Ух	Ложь: у Тюха $1$	Ложь: всего не $3$	$2$ / $2$
Тюх	Ложь: у Плюха $1$	Правда: всего $4$	$1$ / $1$
Плюх	Правда: у Уха $2$	Ложь: всего не $5$	$1$ / $1$

Ответ

Ух — $2$ гриба, Тюх — $1$ Плюх — $1$

Главная идея

Количество лжи можно посчитать двумя способами: по фразам и по числу грибов.

Как заметить эту идею в другой задаче

Когда число истинных или ложных утверждений связано с количеством предметов, попробуйте сначала подсчитать их общую сумму.

Возможная ошибка

Решить, что бельчонок либо всегда врёт, либо всегда говорит правду: здесь у каждого из двух утверждений своя истинность.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 18 · задача 5 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 5 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 19 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Высказывания и логические выводы →

Тема, знания и приёмы

Высказывания и логические выводы · Нужна школьная база

Истинные и ложные высказывания
Разбор конечного числа случаев

Приёмы решения: Логический вывод и исключение вариантов · Последовательный подсчёт без повторов · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →