Бельчонок 2025/26 · Математика · 5 кл., №3 — решение · финал

Условие

Несколько мальчиков стояли в ряд. Между каждыми двумя мальчиками встал новый мальчик. Затем опять между каждыми двумя мальчиками встал новый мальчик, и так повторилось ещё в третий и четвёртый раз. Потом пришли ещё $3$ мальчика, и в результате мальчиков в ряду стало в $13$ раз больше, чем было в начале. Сколько мальчиков стояло в ряду в начале?

О задаче · 5 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 5 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 5 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Если в ряду $4$ мальчика, сколько промежутков между соседями?

Подсказка 2

После вставки одного мальчика в каждый промежуток число увеличивается не вдвое, а до удвоенного минус один.

Разобрать решение по шагам

Разберём один приход

Например, у $4$ мальчиков есть $3$ промежутка. После вставки получится $4+3=7$ мальчиков. Вообще у $n$ мальчиков $n-1$ промежутков, поэтому следующий ряд содержит $2n-1$ мальчика.

Проследим четыре прихода

Каждый раз удваиваем предыдущее количество и вычитаем $1$ Поэтому:

Момент	Мальчиков
Сначала	$n$
После первого	$2n-1$
После второго	$2(2n-1)-1=4n-3$
После третьего	$2(4n-3)-1=8n-7$
После четвёртого	$2(8n-7)-1=16n-15$

Учтём последних троих

После их прихода стало $16n-15+3=16n-12$ мальчиков. По условию это $13n$ Значит, $16n-12=13n$ откуда $3n=12$ и $n=4$

Проверим по конкретным числам

Количество менялось так:

4\longrightarrow7\longrightarrow13\longrightarrow25\longrightarrow49\longrightarrow52.

Последнее число действительно равно $13\cdot4$

Ответ

$4$ мальчика.

Главная идея

При вставке между соседями важно считать промежутки: их на один меньше числа людей.

Как заметить эту идею в другой задаче

Слова «между каждыми двумя соседними» подсказывают считать промежутки и записывать изменение за один шаг.

Возможная ошибка

Удвоить количество на каждом шаге: это добавило бы лишнего мальчика после крайнего в ряду.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 18 · задача 3 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 5 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 18 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Последовательности и суммы →

Тема, знания и приёмы

Последовательности и суммы · Нужна школьная база

Простые уравнения
Промежутки между соседними объектами

Приёмы решения: Переход от шага к следующему

Задать вопрос по задаче →