Бельчонок 2025/26 · Математика · 5 кл., №2 — решение · финал

Условие

Фигура с вырезанной клеткой составлена из одинаковых квадратных клеток. Можно ли разделить её по границам клеток на две равные части? Части считаются равными, если при наложении они совпадают. При этом части можно поворачивать и переворачивать. Если фигуру можно разделить – покажите, как. Если нет – обоснуйте.

О задаче · 5 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 5 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 2

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 5 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

От целой фигуры к двум частям

Переключайте состояния. Каждая схема добавляет один шаг; все состояния доступны и без анимации.

1. Исходная фигура

Серая клетка отсутствует.

2. Ломаный разрез

Цифры позволяют различать части даже без цвета.

3. Совмещение

Приведём детали к одному положению и сравним каждую клетку.

Кнопка «Все состояния» показывает схемы последовательно.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Вначале посчитайте оставшиеся клетки: сколько должно попасть в каждую половину?

Подсказка 2

Равные части не обязательно разделяются прямым разрезом. Попробуйте ломаную границу, оставляя каждой части длинный край.

Разобрать решение по шагам

Определим размер каждой части

В рядах сверху вниз было $2,5,5,5$ клеток. Одна клетка вырезана, поэтому осталось $2+5+5+5-1=16$ клеток. Значит, в каждой из двух равных частей должно быть по $8$ клеток.

Выделим две части

Разрежем по общей границе клеток с номерами $1$ и $2$ Серый квадрат — отверстие, его ни к какой части не относим.

Каждой цифрой отмечены восемь клеток одной части.

Проверим совпадение

Перевернём первую деталь и повернём так, чтобы её длинный край оказался сверху. После этого ряды имеют вид: четыре клетки; по одной клетке на обоих концах; две клетки справа. У второй детали точно такой же контур. Следовательно, они совмещаются разрешёнными поворотом и переворачиванием. Обе части связны и вместе содержат все $16$ оставшихся клеток.

Контуры одинаковы. Детали только перемещены и повёрнуты; для этой задачи переворачивание тоже разрешено.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

Да: разрез показан на схеме, в каждой части по $8$ клеток.

Главная идея

Равенство частей проверяется совмещением, а не только равенством числа клеток.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задаче на разрезание сначала посчитайте площадь каждой части, затем ищите одинаковый контур с учётом разрешённых поворотов.

Возможная ошибка

Разделить на две группы по восемь клеток и не проверить совпадение их формы.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 17 · задача 2 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 5 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 17 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Нужна школьная база

Подсчёт клеток
Поворот фигуры на пол-оборота

Приёмы решения: Поворот плоскости · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →