Бельчонок 2025/26 · Математика · 5 кл., №1 — решение · финал

Условие

У Тани есть $10$ палочек длиной $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ см. Может ли она выбрать из них $9$ чтобы составить из этих $9$ палочек квадрат? Ломать палочки и накладывать друг на друга нельзя. Если квадрат составить нельзя, объясните почему. Если можно, напишите, из каких палочек составлена каждая сторона.

О задаче · 5 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 5 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 5 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

У квадрата четыре равные стороны. Какой должна быть общая длина выбранных палочек?

Подсказка 2

Сумма всех длин равна $55$ см. Попробуйте убрать палочку длиной $3$ см и разбить остальные на четыре группы.

Разобрать решение по шагам

Сначала найдём подходящий периметр

Длины всех палочек дают $1+2+\cdots+10=55$ см. Периметр квадрата делится на $4$ поэтому удобно убрать палочку длиной $3$ см: остаётся $55-3=52$ см. Тогда длина каждой стороны должна быть $52:4=13$ см. Это пока лишь необходимое условие: стороны ещё надо собрать.

Соберём четыре стороны

Попробуем дополнить самые длинные палочки до $13$ см. Получаем четыре группы:

Сторона	Палочки, см	Общая длина, см
Первая	$10+2+1$	$13$
Вторая	$9+4$	$13$
Третья	$8+5$	$13$
Четвёртая	$7+6$	$13$

Проверим, что ни одна палочка не потерялась

В группах ровно $3+2+2+2=9$ палочек. Каждая из длин $1,2,4,5,6,7,8,9,10$ использована один раз. Четыре группы выкладываем вдоль четырёх сторон квадрата; ломать или накладывать палочки не нужно.

Ответ

Да. Не берём палочку $3$ см; стороны: $10+2+1$ $9+4$ $8+5$ $7+6$ см.

Главная идея

Сначала согласовать общую длину с четырьмя сторонами, затем предъявить разбиение.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если нужно собрать фигуру из отрезков, начните с периметра, а затем проверьте возможность собрать каждую сторону.

Возможная ошибка

Делимость периметра на четыре сама по себе ещё не доказывает, что стороны можно составить из имеющихся палочек.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 17 · задача 1 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 5 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 17 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Периметры →

Тема, знания и приёмы

Периметры · Начальный вход

Периметр квадрата
Сложение натуральных чисел

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Ограниченный перебор

Задать вопрос по задаче →