Бельчонок 2024/25 · Физика · 8 кл., №4 — решение · финал

Условие

Новейшие морские ветряные турбины в Северном море имеют длину лопастей $107\text{ м}$ а средняя скорость ветра $v=10\text{ м/с}$ Предполагая, что направление ветра перпендикулярно плоскости лопаток турбины, определить максимально возможную выходную мощность $(P)$ такой турбины в МВт. Считать, что ветер рассеивается по большей площади, как показано на рисунке, при этом всё количество воздуха проходит через изображённый объём без потерь. Скорость ветра позади турбины медленнее, $v_1-v_2=6\text{ м/с}$ $S$ — площадь потока воздушных масс через турбину. Плотность воздуха $\rho=1{,}23\text{ кг/м}^3$ остаётся постоянной.

О задаче · 8 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Физика · 8 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Турбина получает только ту часть кинетической энергии потока, которую воздух потерял при замедлении.

Подсказка 2

За одну секунду через лопасти проходит масса $\dot m=\rho Sv$ Разность квадратов скоростей разложите на произведение.

Разобрать решение по шагам

Масса воздуха за секунду

Радиус ометаемого лопастями круга $r=107\text{ м}$ поэтому $S=\pi r^2$ За секунду через эту площадь проходит объём $Sv$ а масса потока в секунду равна $\dot m=\rho Sv$ Один и тот же массовый расход проходит все сечения: $\rho S_1v_1=\rho Sv=\rho S_2v_2$ .

Потеря кинетической энергии потока

Кинетическая энергия массы $m$ равна $\frac{mv^2}{2}$ При отсутствии потерь максимально передаваемая мощность равна разности входящей и выходящей энергий за секунду:

P=\frac{\dot m}{2}(v_1^2-v_2^2)=\frac{\rho Sv}{2}(v_1-v_2)(v_1+v_2).

Свяжем скорость в плоскости лопастей с крайними скоростями

Для идеальной турбины сила торможения потока равна изменению его импульса за секунду: $F=\dot m(v_1-v_2)$ Мощность этой силы в плоскости турбины равна $Fv$ Сопоставляя с предыдущим балансом энергии и сокращая $\dot m(v_1-v_2)$ получаем $v=\frac{v_1+v_2}{2}$ При $v=10\text{ м/с}$ сумма скоростей равна $20\text{ м/с}$ с заданной разностью $6\text{ м/с}$ это даёт $v_1=13$ $v_2=7\text{ м/с}$

Посчитаем мощность идеальной модели

P=\frac{1{,}23\cdot\pi\cdot107^2\cdot10}{2}(13^2-7^2)\approx2{,}6544\cdot10^7\text{ Вт}\approx26{,}54\text{ МВт}.

Это верхняя мощность для заданного режима без потерь, а не мощность реальной установки с учётом её КПД.

Ответ

В идеальной модели при заданном перепаде скоростей: $P\approx26{,}54\text{ МВт}$ .

Главная идея

Полезная энергия равна потере кинетической энергии одного и того же массового потока.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если поток до устройства и после него имеет разные скорости, сравнивайте энергии одной проходящей массы.

Возможная ошибка

Считать всю входящую кинетическую энергию полезной: воздух за турбиной продолжает двигаться и уносит энергию.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 22 · задача 4 ↗

Бельчонок · 2024/25 · физика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 22, 23 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Энергия и импульс →

Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Нужна школьная база

Кинетическая энергия
Мощность
Массовый расход
Изменение импульса потока

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Закон сохранения импульса · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →