Бельчонок 2024/25 · Физика · 8 кл., №2 — решение · финал

Условие

Глазная артерия человека перед входом в глаз имеет диаметр около $2\text{ мм}$ Внутри глазницы глазная артерия делится на несколько основных веток со средним диаметром около $1{,}1\text{ мм}$ Скорости крови и количество крови через артерию и ветки в единицу времени постоянные, скорости равны: в глазной артерии $32\text{ см/с}$ а в ветках $6\text{ мл/мин}$ Какова общая масса крови в ветках? Длину веток считать равной $7\text{ мм}$ а плотность крови $1{,}060\text{ г/см}^3$

Оговорка к источнику

В исходнике величина $6\text{ мл/мин}$ названа скоростью. Это объёмный расход; в разборе он принят для каждой из одинаковых в расчётной модели ветвей. При этих допущениях масса около $71\text{ мг}$ В официальном решении получено $70\cdot10^{-6}\text{ кг}$ но эта величина ошибочно подписана как $70\text{ мкг}$ правильный перевод — $70\text{ мг}$ Разница между $70$ и $71\text{ мг}$ связана с округлением, а между мг и мкг — нет.

О задаче · 8 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Физика · 8 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 2

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Величина в мл/мин — объёмный расход, а не линейная скорость. Не подставляйте её вместо см/с.

Подсказка 2

Объёмный расход главной артерии равен сумме расходов ветвей.

Разобрать решение по шагам

Согласуем единицы и смысл величин

Будем считать данные $6\text{ мл/мин}$ расходом через каждую одинаковую в модели ветвь. Это $q=0{,}1\frac{\text{см}^3}{\text{с}}$ . Диаметры равны $d=0{,}2\text{ см}$ $d_{\text{в}}=0{,}11\text{ см}$ , длина ветви $\ell=0{,}7\text{ см}$ Слова «скорость в ветках» в исходнике обозначают именно расход, судя по единицам.

Величина	В условии	В выбранных единицах
Диаметр артерии	$2\text{ мм}$	$0{,}2\text{ см}$
Диаметр ветви	$1{,}1\text{ мм}$	$0{,}11\text{ см}$
Длина ветви	$7\text{ мм}$	$0{,}7\text{ см}$
Расход через одну ветвь	$6\text{ мл/мин}$	$\frac6{60}=0{,}1\text{ см}^3/\text{с}$

Найдём общий расход и число ветвей

Площадь сечения главной артерии равна $S=\frac{\pi d^2}{4}=\pi\cdot0{,}1^2\text{ см}^2$ . При скорости $v=32\text{ см/с}$ за одну секунду кровь проходит $32\text{ см}$ Объём прошедшей крови равен площади сечения, умноженной на этот путь. Поэтому объёмный расход

Q=Sv=\pi\cdot0{,}1^2\cdot32=0{,}32\pi\frac{\text{см}^3}{\text{с}}.

Пусть $n$ — число одинаковых в модели ветвей. Ветви вместе пропускают тот же объём за секунду: $nq=Q$ Тогда

n=\frac Qq=\frac{0{,}32\pi}{0{,}1}=3{,}2\pi\approx10{,}05.

Диаметры заданы приблизительно, поэтому это оценка примерно десяти ветвей, а не буквальное дробное число сосудов.

Объём и масса крови

Объём всех ветвей

V=n\frac{\pi d_{\text{в}}^2}{4}\ell\approx10{,}05\cdot\pi\cdot0{,}055^2\cdot0{,}7\approx0{,}06688\text{ см}^3.

Масса $m=\rho V\approx1{,}060\cdot0{,}06688\approx0{,}07089\text{ г}\approx71\text{ мг}$ . Если округлить число ветвей до десяти раньше, получится примерно $70{,}5\text{ мг}$ — в пределах точности исходной модели.

Ответ

Около $0{,}071\text{ г}$ то есть $71\text{ мг}$ (при расходе $6\text{ мл/мин}$ через каждую ветвь).

Главная идея

Непрерывность потока определяет число одинаковых ветвей, после чего их объём даёт массу.

Как заметить эту идею в другой задаче

При разветвлении труб сначала сравните суммарные объёмные расходы, а затем геометрические объёмы.

Возможная ошибка

Перевести $6\text{ мл/мин}$ в м/с без деления на площадь или принять объём, прошедший за минуту, за объём крови, находящейся внутри ветвей.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 20 · задача 2 ↗

Бельчонок · 2024/25 · физика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 20 ↗

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Жидкости и плавание · Нужна школьная база

Площадь круга
Объём цилиндра
Объёмный расход
Плотность

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →