Бельчонок 2024/25 · Физика · 7 кл., №3 — решение · финал

Условие

Мальчик бежит за своей собакой и кричит ей команду: «сидеть». Собака, услышав команду, не остановилась, а в ответ сразу же только гавкнула. Тогда мальчик, не останавливаясь, снова кричит ей команду: «стой», спустя $5$ секунд после первой команды. Но собака в ответ опять сразу же только гавкнула. Скорость мальчика $v=10\text{ м/с}$ Скорость собаки $u=40\text{ м/с}$ Скорость звука $c=330\text{ м/с}$ Сколько прошло времени для мальчика между двумя «гавками», которые он услышал? Получите точную формулу, затем упростите её, считая, что $c\gg v,u$ Далее получите ответ, округлив его до десятых значений.

О задаче · 7 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Физика · 7 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Проследите отдельно два этапа: команда догоняет собаку, затем лай идёт навстречу мальчику.

Подсказка 2

Работайте с интервалами между сигналами: неизвестное начальное расстояние при вычитании исчезнет.

Разобрать решение по шагам

Интервал между услышанными собакой командами

Обозначим промежуток между командами через $\tau=5\text{ с}$ начальное расстояние до собаки — $D$ Команда, посланная в момент $s$ начинается из точки $vs$ Если собака получает её в момент $r$ то

vs+c(r-s)=D+ur,\qquad (c-u)r=D+(c-v)s.

Вычитая эти равенства для $s=0$ и $s=\tau$ получаем интервал между двумя ответами собаки:

\Delta r=\frac{c-v}{c-u}\tau.

Интервал между лаем, услышанным мальчиком

Пусть лай издан в момент $r$ и услышан в момент $q$ Собака тогда находится в точке $D+ur$ а звук распространяется назад:

D+ur-c(q-r)=vq,\qquad (c+v)q=D+(c+u)r.

Вычитание для двух сигналов даёт

\Delta q=\frac{c+u}{c+v}\Delta r=\tau\frac{(c-v)(c+u)}{(c-u)(c+v)}.

Начальное расстояние $D$ сократилось.

Точная подстановка

\Delta q=5\frac{(330-10)(330+40)}{(330-40)(330+10)}\approx6{,}004\text{ с}.

С точностью до десятых точный результат равен $6{,}0\text{ с}$

Приближение для больших скоростей звука

При $\frac vc\ll1$ и $\frac uc\ll1$ можно оставить только первую степень малых отношений. Например, точное равенство

\frac1{1-a}=1+a+\frac{a^2}{1-a}

показывает, что отброшенная часть содержит квадрат малого числа $a$ и потому значительно меньше первого порядка. Для нашего выражения это даёт

\Delta q\approx\tau\left(1+\frac{2(u-v)}c\right)=5\left(1+\frac{60}{330}\right)\approx5{,}9\text{ с}.

Это приближение первого порядка. Оно отличается от округления точной формулы: при данных скоростях погрешность приближения составляет около $0{,}095\text{ с}$

Ответ

Точно: $\Delta q=\tau\frac{(c-v)(c+u)}{(c-u)(c+v)}\approx6{,}0\text{ с}$ . В первом порядке по $\frac uc$ и $\frac vc$ $\Delta q\approx\tau\left[1+\frac{2(u-v)}c\right]\approx5{,}9\text{ с}$ .

Главная идея

Каждое прохождение звука изменяет временной интервал; неизвестная начальная дистанция исчезает при вычитании.

Как заметить эту идею в другой задаче

Два одинаковых сигнала проходят один и тот же меняющийся маршрут — сравнивайте времена сигналов, а не вычисляйте каждое время отдельно.

Возможная ошибка

Учесть только задержку команды по пути к собаке, забыв изменение времени обратного распространения лая.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 3 · задача 3 ↗

Бельчонок · 2024/25 · физика · 7 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 3, 4 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Закон равномерного движения
Распространение звука
Приближение малых величин

Приёмы решения: Относительное движение · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →