Рамка из тысячи спичек

Посчитаем клетки рамки

Пусть внешние размеры рамки — $a$ клеток по горизонтали и $b$ по вертикали. В верхнем и нижнем рядах по $a$ клеток, на боковых сторонах между ними ещё по $b-2$. Всего

Это чётное число.

Учтём общие спички

Если считать каждую клетку отдельно, получится $4N$ спичек. Но соседние клетки кольца имеют общую сторону. Общих сторон ровно $N$: при обходе кольца каждая клетка встречает следующую, включая последнюю и первую. Каждая общая сторона в числе $4N$ посчитана дважды, хотя нужна одна спичка. Поэтому настоящее количество равно

Проверим тысячу

Число спичек любой такой рамки делится на $6$. Число $1000$ не делится даже на $3$: сумма его цифр равна $1$. Значит, рамку из ровно $1000$ спичек построить нельзя. Для исходной картинки $a=5$, $b=4$: формула даёт $6(5+4-2)=42$, как в условии.