Бельчонок 2024/25 · Математика · 5 кл., №1 — решение · финал

Условие

На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в записи. Сумма этих чисел оказалась равной $100$ В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число $23$ заменили на число $32$ ). Могла ли сумма получившихся чисел оказаться больше $400$

До перестановки	После перестановки
$23$	$32$

О задаче · 5 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 5 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 5 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Чтобы число сильно выросло при перестановке, какая цифра должна быть большей — десятков или единиц?

Подсказка 2

Попробуйте взять несколько чисел, близких к $18$ Пять чисел $18$ дают $90$ не хватает $10$

Разобрать решение по шагам

Найдём удобную основу

При перестановке цифр число $18$ превращается в $81$ Уже пять таких перевёрнутых чисел дали бы $5\cdot81=405>400$ Но исходная сумма $5\cdot18=90$ а нужна $100$

Исправим исходную сумму

Увеличим одно число на $10$ вместо одного $18$ возьмём $28$ Получаем

18+18+18+18+28=100.

Все числа двузначные, нулей в их записи нет.

Проверим перестановку

После обмена цифр имеем

81+81+81+81+82=406>400.

Одного подходящего примера достаточно: спрашивается, могла ли сумма быть больше $400$ а не каково её наибольшее значение.

Ответ

Да: $18,18,18,18,28$ дают после перестановки сумму $406$

Главная идея

Для вопроса о возможности достаточно построить и проверить один пример.

Как заметить эту идею в другой задаче

Слова «могло ли» часто требуют не общей формулы, а удачного конкретного набора, удовлетворяющего всем условиям.

Возможная ошибка

Проверить только большую сумму после перестановки и забыть, что исходная должна быть ровно $100$

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 21 · задача 1 ↗

Бельчонок · 2024/25 · математика · 5 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 21 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Десятичная запись →

Тема, знания и приёмы

Десятичная запись · Начальный вход

Десятки и единицы
Сложение натуральных чисел

Приёмы решения: Контрпример · Разрядная запись числа

Задать вопрос по задаче →