Бельчонок 2024/25 · Математика · 5 кл., №3 — решение · финал

Условие

Нарисуйте как можно больше треугольников, один из углов которых равен $90^\circ$ а вершины расположены в отмеченных точках. При этом каждая из отмеченных точек должна быть вершиной ровно одного треугольника. Треугольники могут пересекаться. Не забудьте перенести рисунок в бланк ответов.

О задаче · 5 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 5 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 5 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Строим по одному треугольнику

Переключайте состояния. Каждая схема добавляет один шаг; все состояния доступны и без анимации.

1. Треугольники 1–1

Добавлен треугольник $1$ Прежние вершины повторно не используются.

2. Треугольники 1–2

Добавлен треугольник $2$ Прежние вершины повторно не используются.

3. Треугольники 1–3

Добавлен треугольник $3$ Прежние вершины повторно не используются.

4. Треугольники 1–4

Добавлен треугольник $4$ Прежние вершины повторно не используются.

5. Треугольники 1–5

Добавлен треугольник $5$ Прежние вершины повторно не используются.

6. Треугольники 1–6

Добавлен треугольник $6$ Прежние вершины повторно не используются.

7. Треугольники 1–7

Добавлен треугольник $7$ Прежние вершины повторно не используются.

Кнопка «Все состояния» показывает схемы последовательно.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Каждый треугольник расходует три точки. Сколько всего отмечено точек?

Подсказка 2

Можно использовать не только горизонтальные и вертикальные стороны: две диагонали клеток тоже могут образовать прямой угол.

Разобрать решение по шагам

Получим верхнюю границу

На рисунке $21$ точка. Каждая должна принадлежать ровно одному треугольнику, поэтому больше $21:3=7$ треугольников получить нельзя. Нужно показать, что семь действительно удаётся построить.

Построим семь треугольников

Для проверки занумеруем точки построчно: слева направо, начиная с верхнего ряда. Соединяем тройки, указанные в таблице. На схеме прямой угол каждой тройки отмечен маленьким уголком.

Треугольник	Вершины	Прямой угол при вершине
$1$	$1, 2, 4$	$1$
$2$	$3, 5, 6$	$6$
$3$	$7, 8, 10$	$10$
$4$	$9, 11, 16$	$9$
$5$	$12, 14, 21$	$12$
$6$	$13, 17, 18$	$18$
$7$	$15, 19, 20$	$20$

Убедимся, что углы прямые

У треугольников $1,2,6,7$ стороны прямого угла идут по горизонтали и вертикали. У треугольников $3$ и $5$ — по двум диагональным направлениям квадратной сетки, которые перпендикулярны. У треугольника $4$ из вершины $9$ к вершине $11$ нужно пройти две клетки влево и одну вниз. Поворот этого направления на четверть оборота против часовой стрелки даёт одну клетку вправо и две вниз — как раз направление к вершине $16$ Поэтому и этот угол прямой. Сетка в решении вспомогательная: исходные точки не перемещены.

Проверим, что точки не повторились

В таблице использованы все номера от $1$ до $21$ ровно по одному разу. Пересечения сторон разрешены условием. Значит, построение допустимо и достигает верхней границы $7$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$7$ прямоугольных треугольников; построение показано на схеме.

Главная идея

Оценка по числу точек доказывает максимум только вместе с построением, достигающим этой оценки.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задаче «как можно больше» сначала ограничьте число объектов, затем отдельно предъявите пример нужного размера.

Возможная ошибка

Нарисовать много треугольников, но использовать одну отмеченную точку в двух из них.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 22 · задача 3 ↗

Бельчонок · 2024/25 · математика · 5 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 22 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

Прямой угол
Подсчёт точек
Перпендикулярные направления

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →