Задача 5. Печь на ходу

Пироги показывают, сколько прошло времени

В условии нет ни длины дороги, ни скорости печи — только сравнения: Иван «в $4$ раза быстрее», Фёдор «в $3$ раза медленнее». Значит, искать надо не километры и часы, а доли пути.

Свяжем пироги с дорогой. Печь печёт равномерно: за равное время — поровну пирогов. И едет она тоже равномерно: за равное время проезжает равные куски дороги. Поэтому пироги можно отмерять прямо по дороге: проехала печь половину пути — испекла половину всех пирогов, проехала пятую часть пути — испекла пятую часть пирогов.

Здесь есть тонкость: пироги штучные. Если бы встреча пришлась на время между двумя пирогами, «пятая часть всех пирогов» могла бы оказаться дробным числом, а готовых пирогов было бы чуть меньше. Но по условию обе встречи состоялись как раз тогда, когда Емеля доставал из печи очередной пирог. Поэтому к каждой встрече испеклась точно такая доля всех пирогов, какую долю пути проехала печь.

Итак, достаточно узнать, какую долю пути печь проехала к встрече с Иваном и к встрече с Фёдором.

Встреча с Иваном: пятая часть пути

Посыльные вышли навстречу Емеле оттуда, куда он едет, — с царёвой службы; будем называть это место дворцом. Печь едет от дома к дворцу, Иван — от дворца ей навстречу.

Пока печь проезжает какой-то кусок дороги, Иван проезжает $4$ таких же куска: он в $4$ раза быстрее. Вместе они проезжают $1+4=5$ кусков — ровно на столько сокращается расстояние между ними. Поэтому разделим всю дорогу на $5$ равных кусков. Пока печь проезжает один кусок от дома, Иван проезжает остальные $4$ от дворца — и они встречаются (см. рисунок).

Значит, Иван встретил печь, когда она проехала $\frac15$ пути. Печь едет равномерно, поэтому прошла и $\frac15$ всего времени поездки, а испеклась $\frac15$ всех пирогов. Все эти пироги Емеля отдал Ивану.

Встреча с Фёдором: три четверти пути

Фёдор в $3$ раза медленнее печи: пока печь проезжает $3$ куска дороги, Фёдор проходит только $1$ такой кусок. Вместе они проходят $3+1=4$ куска. Теперь удобно разделить дорогу на $4$ равных куска: пока печь проезжает $3$ куска от дома, Фёдор проходит последний, четвёртый, — и они встречаются.

Значит, Фёдор встретил печь, когда она проехала $\frac34$ пути. К этому моменту прошло $\frac34$ времени поездки и испеклись $\frac34$ всех пирогов. Обе встречи случились в дороге, до приезда во дворец: и $\frac15$, и $\frac34$ меньше целого пути.

Общая мерка: 20 частей пути

Сравнивать $\frac15$ и $\frac34$ неудобно: у дробей разные знаменатели. Поэтому разделим дорогу на $20$ равных частей — $20$ делится и на $5$, и на $4$. Пятая часть пути — это $20:5=4$ части, а три четверти пути — $20:4\cdot3=15$ частей. Печь печёт равномерно, поэтому на каждой части пути испекается одно и то же число пирогов.

Посмотрим, кому достались пироги каждой части:

• Иван встретил печь в конце 4-й части. Ему достались пироги первых $4$ частей.
• Фёдор встретил печь в конце 15-й части. Но пироги первых $4$ частей у Емели уже забрал Иван. Фёдору достались только пироги, испечённые после встречи с Иваном, — с 5-й по 15-ю часть, то есть $15-4=11$ частей.
• Пироги последних $20-15=5$ частей Емеля довёз до дворца.

Проверим: $4+11+5=20$ — каждая часть пути учтена ровно один раз.

Сколько пирогов в одной части

Фёдор получил пироги $11$ частей, Иван — $4$ частей. Значит, разница между ними — пироги $11-4=7$ частей. По условию это $133$ пирога. Поэтому в одной части пути печь печёт

пирогов. Всего частей $20$, значит, за всю дорогу печь испекла

пирогов.

Проверим условие. Иван получил $4\cdot19=76$ пирогов, Фёдор — $11\cdot19=209$, и $209-76=133$. К встрече с Иваном испеклось ровно $76$ пирогов, к встрече с Фёдором — ровно $15\cdot19=285$. Оба числа целые, как и должно быть: встречи пришлись как раз на те моменты, когда Емеля доставал 76-й и 285-й пирог.