Задача 2. Шесть разных сумм на гранях куба

Противоположные грани вместе дают 36

Сначала найдём сумму всех чисел:

Возьмём две противоположные грани, например нижнюю и верхнюю. У нижней грани четыре вершины внизу куба, у верхней — четыре наверху. Вместе это все восемь вершин, и каждая встречается ровно один раз. Поэтому при любой расстановке сумма нижней грани плюс сумма верхней равна $36$. То же верно для передней и задней граней, для левой и правой.

Зачем это нужно. Шесть сумм разбиваются на три пары, и в каждой паре суммы дополняют друг друга до $36$. Поэтому каждую сумму удобно сравнивать с половиной числа $36$, то есть с $18$: если одна грань пары меньше $18$ на сколько-то, то противоположная больше $18$ ровно на столько же. Например, $14=18-4$ и $22=18+4$. Это число — на сколько суммы пары отходят от $18$ — назовём «отступом» пары.

Теперь видно, когда суммы могут совпасть. Внутри пары — только если отступ равен $0$, то есть обе суммы равны $18$. Суммы из разных пар — только если у этих пар одинаковый отступ: числа, которые отходят от $18$ на разное расстояние, равными быть не могут. Отсюда план: добиться, чтобы отступы трёх пар были разными и ни один не был равен $0$.

Маленькие числа вниз, большие — наверх

Начнём с пары «нижняя — верхняя» и сделаем её как можно более неравной. Поставим на нижнюю грань самые маленькие числа $1, 2, 3, 4$, а на верхнюю — самые большие $5, 6, 7, 8$:

Вместе $10+26=36$, как и должно быть. Меньше $10$ сумма четырёх разных чисел от $1$ до $8$ не бывает, больше $26$ — тоже.

Теперь боковые грани. У каждой из них две вершины внизу и две наверху. Два нижних числа дают вместе не меньше $1+2$, а два верхних — не меньше $5+6$. Поэтому сумма боковой грани не меньше

Точно так же она не больше

Значит, сумма боковой грани не может быть равна ни $10$, ни $26$: ни одна боковая грань не совпадёт ни с нижней, ни с верхней. На языке отступов из шага 1: у пары «нижняя — верхняя» отступ $8$ — больше не бывает, а у двух пар боковых граней отступ не больше $4$. Осталось сделать разными четыре боковые суммы — тогда и отступы боковых пар будут разными и ненулевыми.

Наверху — те же числа, только на 4 больше

В каком порядке ставить $5, 6, 7, 8$? Пусть верхняя грань повторяет нижнюю: над каждым нижним числом поставим число на $4$ больше — над $1$ число $5$, над $2$ — $6$, над $3$ — $7$, над $4$ — $8$. Тогда суммы боковых граней станет легко считать.

Возьмём, например, боковую грань, у которой внизу стоят $1$ и $2$. Над ними — $5=1+4$ и $6=2+4$, поэтому

С любой боковой гранью то же самое. Если внизу у неё числа $a$ и $b$, то наверху $a+4$ и $b+4$, и сумма грани равна

Значит, сумма боковой грани зависит только от суммы $a+b$ на нижнем ребре этой грани: разные суммы на рёбрах — разные суммы граней. Задача про куб превратилась в задачу про квадрат: расставить $1, 2, 3, 4$ по углам нижнего квадрата так, чтобы суммы на четырёх его сторонах были разными.

Как поставить 1, 2, 3, 4 по квадрату

Заметим, что $1+4=5$ и $2+3=5$. Если $1$ и $4$ стоят в соседних углах квадрата, то $2$ и $3$ занимают два других угла — и тоже оказываются соседями. Тогда у двух сторон квадрата одна и та же сумма $5$, а у двух боковых граней — одна и та же сумма

Это как раз случай из шага 1, когда отступ пары равен $0$: две противоположные грани, обе по $18$. Значит, $1$ и $4$ нужно поставить по диагонали квадрата.

Проверим это перебором. Всё решает, какое число стоит напротив $1$, по диагонали. Два других числа — соседи единицы; если поменять их местами, квадрат просто отразится, а суммы на сторонах останутся теми же. Поэтому случаев всего три:

Подходит только последний случай: $1$ и $4$ стоят по диагонали.

Собираем куб и проверяем все шесть граней

Внизу спереди поставим $1$ (слева) и $2$ (справа), внизу сзади — $3$ (слева) и $4$ (справа). По кругу нижний квадрат читается так: $1, 2, 4, 3$ — единица и четвёрка стоят по диагонали. Наверху над каждым числом — на $4$ больше: над $1$ стоит $5$, над $2$ — $6$, над $3$ — $7$, над $4$ — $8$. Считаем все шесть граней:

• нижняя: $1+2+4+3=10$;
• передняя: $1+2+6+5=14$;
• левая: $1+3+7+5=16$;
• правая: $2+4+8+6=20$;
• задняя: $3+4+8+7=22$;
• верхняя: $5+6+8+7=26$.

Все шесть сумм разные. Боковые суммы совпали с предсказанием шага 3: стороны квадрата с суммами $3, 4, 6, 7$ дают $2\cdot3+8=14$, $2\cdot4+8=16$, $2\cdot6+8=20$ и $2\cdot7+8=22$. Пример найден.