Задача 1. Касса цифр

Посмотрим на разность чисел

Будем коротко писать «Маша» — число Маши и «Толя» — число Толи. Число уменьшилось в $4$ раза, значит, $\text{Маша}=4\cdot\text{Толя}$: число Маши складывается из четырёх одинаковых слагаемых, каждое равно числу Толи. Если отнять одно такое слагаемое, останутся три:

Зачем нам разность? Про каждую цифру известно, что с ней сделал Толя, а разность как раз удобно считать по разрядам. Если в разряде Толя уменьшил цифру на $4$, то цифра Маши там на $4$ больше. Если увеличил на $1$ — на $1$ меньше.

Посмотрим на пример. Маша выложила $8627$. Толя уменьшил на $4$ цифры тысяч, сотен и единиц, а цифру десятков увеличил на $1$ — получилось $4233$. Разложим оба числа на разрядные слагаемые:

Вычтем тысячи из тысяч, сотни из сотен и так далее: $8000-4000=4000$, $600-200=400$, $20-30=-10$, $7-3=4$. Сложим эти вклады разрядов:

И правда, $8627-4233=4394$: разность чисел равна сумме вкладов разрядов.

Разность зависит только от выбора Толи

В примере разность сложилась из вкладов разрядов: $+4000$, $+400$, $-10$ и $+4$. Сами цифры Маши в эти вклады не вошли — важно только, что Толя сделал в каждом разряде. Возьмём другое число Маши, например $9516$, и пусть Толя действует так же. Он получит $5122$, и разность снова та же: $9516-5122=4394$.

Так будет всегда: каждое число — сумма разрядных слагаемых, а в каждом разряде цифры Маши и Толи отличаются ровно на $4$ или на $1$. Поэтому разряд тысяч даёт в разность $+4000$ или $-1000$, разряд сотен — $+400$ или $-100$, десятков — $+40$ или $-10$, единиц — $+4$ или $-1$. Назовём схемой выбор Толи во всех четырёх разрядах. В каждом разряде два варианта, поэтому схем всего $2\cdot2\cdot2\cdot2=16$.

Теперь соединим два факта. Разность определяется схемой, и та же разность равна $3\cdot\text{Толя}$. Значит, каждая схема даёт не больше одного числа Толи: разность надо разделить на $3$. Вместо тысяч чисел Маши осталось проверить $16$ схем.

Отбросим лишние схемы

Число Маши больше числа Толи, поэтому разность положительна. Если бы Толя увеличил цифру тысяч, этот разряд дал бы в разность $-1000$, а три остальных разряда вместе — не больше $400+40+4=444$. Тогда разность была бы не больше $-1000+444=-556$, то есть отрицательной. Значит, цифру тысяч Толя уменьшил на $4$, и осталось восемь схем.

Разность равна $3\cdot\text{Толя}$, поэтому она должна делиться на $3$. Напомним признак: число делится на $3$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $3$. Значит, если сумма цифр на $3$ не делится, то и само число не делится. Проверим все восемь разностей. В тысячах у всех схем $-4$, поэтому в таблице указан выбор Толи только для сотен, десятков и единиц.

Сумма цифр делится на $3$ только там, где она равна $24$. Остались три разности: $4389$, $3939$ и $3894$; остальные пять схем отпадают.

Проверим трёх кандидатов по карточкам

Для каждой оставшейся разности найдём число Толи (делим разность на $3$) и число Маши (умножаем число Толи на $4$). Например, $4389:3=1463$ и $4\cdot1463=5852$.

Это ещё не ответ: разность совпала, но совпадают ли сами карточки? Сверим каждую цифру со своей схемой.

• $5852\to1463$, схема $-4,-4,+1,+1$: $5-4=1$, $8-4=4$, $5+1=6$, $2+1=3$. Всё сходится.
• $5252\to1313$, схема $-4,+1,-4,+1$: $5-4=1$, $2+1=3$, $5-4=1$, $2+1=3$. Всё сходится.
• $5192\to1298$, схема $-4,+1,+1,-4$: в десятках у Маши $9$, а $9+1=10$ — такой карточки нет, у Толи там $9$. В единицах $2-4$ — не цифра, у Толи там $8$. Эта пара не подходит.

Почему третья пара сорвалась? Число $3894$ получается и по схеме ($4000-100-10+4$), и при вычитании по разрядам самих чисел $5192$ и $1298$ ($4000-100+0-6$), но вклады десятков и единиц здесь разные. Значит, у Толи там не те карточки.

Итак, подходят ровно две пары.