Задача 4. Квадрат на четыре равные части

Сколько клеток и какая сумма в каждой части

В квадрате $6\cdot6=36$ клеток. Равные части совпадают при наложении, поэтому клеток в них поровну — в каждой

Теперь сложим все числа. Единиц в квадрате четыре, двоек — четыре и троек — тоже четыре, а пустые клетки ничего не добавляют:

Суммы во всех четырёх частях одинаковые, значит, каждая из них равна $24:4=6$.

Итак, нужны четыре равные части по $9$ клеток, и в каждой сумма чисел $6$. Резать будем по линиям сетки — тогда каждая клетка вместе со своим числом целиком попадает в одну часть.

Равные части проще всего получить поворотом

Как сделать, чтобы четыре части заведомо были равными? Помогает свойство квадрата: если повернуть его вокруг центра на четверть оборота, то есть на $90^\circ$, он ляжет сам на себя. Придумаем одну часть, а три другие получим из неё поворотами на $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$. Повёрнутая часть совпадает с исходной при наложении, поэтому равенство частей получится само — отдельно его проверять не придётся.

При повороте на $90^\circ$ каждая клетка переходит в другую клетку, а после четырёх поворотов возвращается на место. Поэтому все клетки разбиваются на четвёрки: клетка и три её «поворота». Четвёрок всего $36:4=9$. На рисунке клетки одной четвёрки помечены одной буквой: например, четыре угловые клетки — четвёрка А, четыре центральные — четвёрка И.

Главное следствие: в каждой части ровно по одной клетке из каждой четвёрки. Почему не две? Пусть в одну часть попали левый верхний и правый верхний углы. Поворот на $90^\circ$ по часовой стрелке переводит левый верхний угол в правый верхний, а нашу часть — в соседнюю. Значит, правый верхний угол оказался бы сразу в двух частях, а так не бывает. С любыми двумя клетками одной четвёрки — то же самое. Значит, из каждой четвёрки в часть попадает не больше одной клетки, а клеток в части $9$ — столько же, сколько четвёрок. Поэтому из каждой четвёрки часть берёт ровно одну клетку.

Кому достанется пустая клетка в центре

Теперь числа. Сумму $6$ проще всего сложить как $1+2+3$, а единиц, двоек и троек в квадрате как раз по четыре — по одной на каждую часть. Это не обязательно, но попробовать стоит: пусть в каждой части будут одна единица, одна двойка и одна тройка.

Чтобы говорить о клетках коротко, будем записывать их так: $(4;3)$ — клетка в $4$-й строке сверху и в $3$-м столбце слева.

Посмотрим на центр квадрата — четвёрку И. В ней три двойки, $(3;3)$, $(3;4)$ и $(4;4)$, и пустая клетка $(4;3)$. По шагу 2 каждая часть получает ровно одну центральную клетку. Значит, три части получат свою двойку прямо в центре. А часть, которой досталась пустая клетка $(4;3)$, должна взять единственную двойку вне центра — в клетке $(5;5)$.

Эту часть и построим первой (на рисунках она синяя). Три другие получатся из неё поворотами.

Строим синюю часть

В синей части уже есть пустая центральная клетка $(4;3)$, и ей нужна двойка $(5;5)$. Ещё нужны единица и тройка, а вся часть должна быть одним куском.

Единица. Ближайшая стоит прямо слева от пустой клетки — $(4;2)$. Возьмём её: остальные единицы стоят наверху, далеко от двойки $(5;5)$.

Путь к двойке. Короче всего было бы пройти через $(5;4)$. Но эта клетка из той же четвёрки Е, что и единица $(4;2)$, а две клетки одной четвёрки брать нельзя. Через центральную клетку $(4;4)$ тоже нельзя: она из четвёрки И, как и наша пустая $(4;3)$. Поэтому идём в обход: вниз через $(5;3)$ в нижнюю строку, по ней вправо до $(6;5)$ и вверх к двойке $(5;5)$.

Теперь в синей части $7$ клеток:

и сумма их чисел $1+2=3$. Все семь клеток из разных четвёрок; не тронуты только угловая четвёрка А и четвёрка Г, в которой стоит тройка $(6;2)$.

Последние две клетки. Осталось взять по одной клетке из четвёрок А и Г, и среди них должна быть тройка. Угловая тройка $(6;1)$ не подходит: её соседи — $(5;1)$ из четвёрки Б, клетка которой у нас уже есть, и тройка $(6;2)$, с которой сумма стала бы больше $6$. Без соседей угол оторвался бы от части. Значит, берём тройку $(6;2)$ из четвёрки Г — она примыкает к $(6;3)$. Тогда из четвёрки А нужен пустой угол рядом с частью — это $(6;6)$.

Синяя часть готова: $9$ клеток, по одной из каждой четвёрки, числа $1$, $2$ и $3$, сумма $1+2+3=6$.

Поворачиваем и пересчитываем суммы

Повернём синюю часть вокруг центра квадрата на $90^\circ$ по часовой стрелке: её нижняя строка станет левым столбцом — получится жёлтая часть. Повернём ещё раз — получится розовая (сверху), и ещё раз — зелёная (справа). Синяя часть берёт по одной клетке из каждой четвёрки, а её повороты — остальные клетки тех же четвёрок. Поэтому части не налезают друг на друга и вместе покрывают весь квадрат. Все четыре части — повороты одной фигуры, значит, они равны.

Осталось проверить суммы. Числа вместе с частью не поворачиваются: они остаются на своих местах в квадрате. Поэтому сумму каждой части считаем заново:

• синяя: $1$ в $(4;2)$, $2$ в $(5;5)$, $3$ в $(6;2)$;
• жёлтая: $1$ в $(2;3)$, $2$ в $(3;3)$, $3$ в $(6;1)$;
• розовая: $1$ в $(2;4)$, $2$ в $(3;4)$, $3$ в $(3;5)$;
• зелёная: $1$ в $(2;5)$, $2$ в $(4;4)$, $3$ в $(3;6)$.

В каждой части по одной единице, двойке и тройке: $1+2+3=6$. Разрезание найдено.