Зимний турнир Архимеда 2021

На столе «касса цифр» (набор бумажных карточек с цифрами). Маша выложила из карточек четырёхзначное число. Толя заменил в числе все карточки на другие: каждую цифру либо уменьшил на $4$, либо увеличил на $1$. Число уменьшилось в $4$ раза. Какое число могла выложить Маша? Что могло получиться у Толи? (Найдите как можно больше вариантов ответов).

Расставьте цифры от $1$ до $8$ по одной в вершинах куба таким образом, чтобы для каждой из шести граней суммы четырех чисел, стоящих в вершинах этой грани, были различны.

Али-баба на пути к пещере с сокровищами проходит через лабиринт (схема лабиринта — на рисунке). Лабиринт состоит из одинаковых комнат (на схеме — кружочки) и коридоров между ними. Из каждой комнаты можно выходить в двух направлениях (на схеме — направо или вверх). Две комнаты ($A$ и $B$) для прохода закрыты. Сколько различных путей ведут в пещеру с сокровищами?

Разделите квадрат на $4$ равные части так, чтобы в каждой из них сумма чисел была одинаковой.

Емеля устроился на работу царским хлебопёком. Как-то утром отправился он на царёву службу. Выехал он поздновато, поэтому печь пекла пироги прямо на ходу. Одновременно с Емелей навстречу ему отправились два посыльных: Фёдор и Иван. Фёдор идёт пешком, поэтому движется в $3$ раза медленнее печи, а Иван — верхом на лошади — в $4$ раза быстрее, чем печь. При встрече с посыльными Емеля (на ходу) отдаёт им все изготовленные к этому моменту пироги, а сам продолжает движение. Известно, что Фёдор получил на $133$ пирога больше, чем Иван, а встречи с посыльными состоялись как раз в тот момент, когда он доставал из печи очередной пирог. Сколько всего пирогов испекла печь по пути на царёву службу? Печь начала работать с момента отправления и печёт пироги равномерно.

За круглым столом сидели $13$ гостей. Среди них были рыцари (всегда говорят правду), лжецы (всегда лгут) и марсиане. Про марсиан известно, что правду они говорят только марсианам, а всем остальным лгут. Каждые двое сидящих рядом сказали друг другу: «Ты не рыцарь». Сколько лжецов могло сидеть за столом, если известно, что их было больше, чем марсиан? Найдите все возможные варианты ответа и докажите, что других нет.

Кощей Бессмертный (КБ) играет в игру. В начале игры он в каждой клетке таблицы $100\times100$ записывает по одному натуральному числу от $1$ до $100^2$, так, что все числа в таблице в начале игры — различны. Затем включается искусственный интеллект (ИИ). На первом шаге ИИ одновременно заменяет каждое число в таблице на наибольшее из соседних чисел (соседние — те, которые расположены в клетках с общей стороной). На втором шаге ИИ снова заменяет каждое число в таблице на наибольшее из соседних чисел, и так далее.

а) Может ли КБ расставить числа в начале игры так, чтобы через некоторое время все числа в таблице стали одинаковыми?

б) Какое наибольшее количество различных чисел может остаться в таблице через $10\,000$ ходов?

в) Какое наименьшее число может остаться в таблице через $10\,000$ ходов?