Задача 4. Печенеги, хазары и две суммы

Что отвечает каждый житель

У клетки поля $2$, $3$ или $4$ соседа по стороне. Два соседа — у четырёх угловых клеток, три — у остальных клеток края, четыре — у внутренних. На каждой стороне поля $10$ клеток, из них $2$ угловые, поэтому неугловых клеток края

а внутренние клетки образуют квадрат $8\times 8$ — их $64$. Проверка: $4+32+64=100$ (рисунок ниже).

Печенег называет числа как есть, хазар к каждому числу прибавляет $1$. Например, хазар, рядом с которым $3$ печенега и $1$ хазар, на первый вопрос ответит «$4$», а на второй — «$2$».

Сами ответы нам неизвестны, известны только две суммы. Поэтому будем искать то, что можно сосчитать, не зная, кто где стоит.

Сложим два ответа каждого — пункт а)

Соседи-печенеги и соседи-хазары жителя вместе — это все его соседи. Поэтому у печенега два ответа в сумме дают число его соседей. У хазара — на $2$ больше: он прибавил $1$ к первому ответу и $1$ ко второму.

Сложим оба ответа всех $100$ жителей. С одной стороны, получится сумма двух сумм:

С другой стороны, получится число соседей у всех клеток вместе и ещё по $2$ за каждого хазара. Соседей у всех клеток вместе

Это число не зависит от расстановки. Если хазар $x$, то

Ответ на пункт а): $36$ хазар.

Кто называет хазара

Теперь выясним, где стоят хазары. Для этого посчитаем вторую сумму с другой стороны.

Представим сначала, что все говорят правду. Во втором вопросе каждый житель называет, сколько рядом хазар. Значит, каждого хазара назовёт каждый его сосед — и больше никто. Хазара в углу назовут $2$ раза, на краю — $3$ раза, внутри — $4$ раза (рисунок ниже). Поэтому правдивая вторая сумма равна числу соседей у всех хазар вместе.

Но каждый из $36$ хазар прибавил к своему ответу $1$, и вторая сумма выросла на $36$. Значит,

и у $36$ хазар вместе ровно

соседа.

Где помещаются хазары — пункт б)

У $36$ хазар вместе всего $104$ соседа — это мало. Если бы у каждого хазара было хотя бы $3$ соседа, соседей было бы не меньше $36\cdot 3=108$. Меньше трёх соседей бывает только в углу, а углов всего $4$.

Пусть в углах стоят $k$ хазар, $k\le 4$. У каждого из остальных $36-k$ хазар не меньше $3$ соседей. Поэтому соседей у всех хазар вместе не меньше

А соседей ровно $104$. Так бывает, только если $k=4$ и ни у одного из остальных $32$ хазар нет четвёртого соседа. Значит, хазары стоят во всех четырёх углах, а каждый из остальных $32$ хазар стоит на краю поля, но не в углу. Таких клеток на поле ровно $32$ — хазары заняли их все.

Итак, хазары стоят во всех $36$ клетках края, а все $64$ внутренние клетки заняты печенегами. Другой расстановки с такими суммами нет.

Проверка и ответ

Осталось убедиться, что эта расстановка действительно даёт обе суммы. Иначе подходящих способов было бы ноль. Посчитаем ответы по группам жителей (рисунок ниже):

• $4$ хазара в углах: рядом $2$ хазара и ни одного печенега — они говорят «$1$» и «$3$»;

• $32$ других хазара края: рядом $2$ хазара и $1$ печенег — «$2$» и «$3$»;

• $4$ печенега в углах внутреннего квадрата $8\times 8$: рядом $2$ хазара и $2$ печенега — «$2$» и «$2$»;

• $24$ других печенега у края этого квадрата: $1$ хазар и $3$ печенега — «$3$» и «$1$»;

• $36$ печенегов в середине: $4$ печенега — «$4$» и «$0$».

Первая сумма:

Вторая сумма:

Обе суммы совпали с условием. Ответ на пункт б): один способ.

Второй вариант

Рассуждение то же, меняются числа и знак: скиф не прибавляет, а отнимает $1$. У поля $12\times 12$ четыре угловые клетки, $4\cdot 10=40$ других клеток края и $10\cdot 10=100$ внутренних. Соседей у всех клеток вместе

Два ответа гунна вместе дают число его соседей, а у скифа — на $2$ меньше. Если скифов $y$, то

Вторая сумма: каждого скифа называют все его соседи, а каждый из $44$ скифов уменьшил свой ответ на $1$. Значит, соседей у всех скифов вместе $84+44=128$. Если в углах стоят $k$ скифов, то соседей у скифов не меньше

и равенство бывает только при $k=4$, когда у каждого из остальных $40$ скифов ровно $3$ соседа. Значит, скифы занимают все $4$ угла и все $40$ других клеток края — весь край из $44$ клеток, — а гунны стоят внутри.

Проверка. Угловой скиф не видит рядом ни одного гунна и произносит «$-1$» — как в примере из условия, — а на второй вопрос отвечает «$1$». Скиф края говорит «$0$» и «$1$». Гунны говорят правду: в углах внутреннего квадрата $10\times 10$ — «$2$» и «$2$», у его сторон ($32$ гунна) — «$3$» и «$1$», в середине ($64$ гунна) — «$4$» и «$0$». Суммы:

Ответ: а) $44$ скифа; б) один способ.