Задача 1. Лист из покрашенных кубиков

Что нужно от каждого кубика

Параллелепипед $8\times 10\times 1$ — это лист толщиной в один кубик: $8$ рядов по $10$ кубиков, все $80$ кубиков лежат в один слой. Положим лист на стол. Тогда каждый кубик выходит на верхнюю грань $8\times 10$, причём ровно одной своей гранью — той, что смотрит вверх.

Чтобы вся грань $8\times 10$ была красной, каждая из этих $80$ граней должна быть красной. Поэтому у каждого из $80$ кубиков должна быть хотя бы одна красная грань. А если она есть, кубик можно повернуть ею вверх: поворачивать кубики можно как угодно.

Зачем так рассуждать: краску нельзя переложить с одного кубика на другой. Важно не то, сколько краски всего, а то, у каждого ли кубика она есть.

Каких кубиков краска не коснулась

Брусок $4\times 4\times 5$ покрасили снаружи. Грань маленького кубика стала красной, только если она лежит на поверхности бруска. Остальные его грани прижаты к соседним кубикам — на них краска не попала.

Значит, кубик, который не касается ни одной из шести граней бруска, остался полностью белым. Где такие кубики? Мысленно снимем с бруска со всех сторон по одному слою — всё, что касается поверхности:

• по длине из $4$ кубиков остаётся $4-2=2$ (уходят первый и последний);

• по ширине тоже $4-2=2$;

• по высоте $5-2=3$ (уходят нижний и верхний слои).

Внутри остаётся брусок $2\times 2\times 3$, в нём

кубиков. У каждого из них все шесть граней белые.

Почему лист не получится

Возьмём любую сборку параллелепипеда $8\times 10\times 1$ из этих $80$ кубиков. В ней участвуют и $12$ полностью белых кубиков. Какой гранью вверх ни положить такой кубик, вверху окажется белая грань — красной у него просто нет.

Значит, на грани $8\times 10$ будет хотя бы $12$ белых клеток, а красных — не больше

Ответ: нельзя. Ни при какой сборке грань $8\times 10$ не окажется полностью красной.

Куда «пропала» краска

Почему кажется, что должно получиться? Красных квадратиков на поверхности бруска

это больше, чем $80$. Но краска распределена неравномерно. Посчитаем, у скольких кубиков сколько красных граней (рисунок ниже — слои бруска сверху):

• три грани — у $8$ угловых кубиков;

• две грани — у $28$ кубиков на рёбрах: $8$ рёбер длины $4$ дают по $2$ таких кубика, $4$ ребра длины $5$ — по $3$;

• одна грань — у $32$ кубиков в середине граней: по $2\cdot 2=4$ на двух гранях $4\times 4$ и по $2\cdot 3=6$ на четырёх гранях $4\times 5$;

• ни одной — у $12$ внутренних кубиков.

Проверка: $8+28+32+12=80$ кубиков и $8\cdot 3+28\cdot 2+32\cdot 1=112$ красных квадратиков. В листе каждый кубик показывает только одну грань: у углового кубика две красные грани из трёх пропадают зря, а отдать их белым кубикам нельзя.

Второй вариант

Рассуждение то же, меняются числа и цвет.

Параллелепипед $8\times 9\times 1$ толщиной в один кубик, поэтому каждый из $72$ кубиков выходит на грань $8\times 9$ ровно одной своей гранью — и у каждого кубика должна быть синяя грань.

Внутри бруска $3\times 4\times 6$ краска не коснулась кубиков, которые не выходят на поверхность. Снимаем мысленно со всех сторон по слою: по длине остаётся $3-2=1$, по ширине $4-2=2$, по высоте $6-2=4$. Внутри брусок $1\times 2\times 4$ — это

полностью белых кубиков. Их клетки на грани $8\times 9$ белые при любой сборке, поэтому синих клеток не больше

Ответ: нельзя.

И здесь краски на поверхности много: $2\cdot(3\cdot 4+4\cdot 6+3\cdot 6)=108$ синих квадратиков — больше, чем $72$. Но три синие грани — у $8$ угловых кубиков, две — у $28$ кубиков на рёбрах, одна — у $28$ кубиков в середине граней и ни одной — у $8$ внутренних: $8+28+28+8=72$ и $8\cdot 3+28\cdot 2+28=108$. Модель переключается на второй вариант кнопкой «2 вариант».