Задача 2. Восьмёрки против девяток

Сначала опыт

Возьмём число, оканчивающееся на $34$, и выпишем все его делители. У $34=2\cdot 17$ делители $1$, $2$, $17$, $34$ — ни одного на $8$ или на $9$. Попробуем $234=2\cdot 9\cdot 13$:

На $8$ оканчиваются $18$ и $78$, на $9$ — $9$ и $39$: поровну. Присмотримся (рисунок ниже):

Каждый делитель на $8$ вдвое больше делителя на $9$. Если так бывает всегда, то каждому делителю на $8$ найдётся пара — его половина, и делителей на $9$ окажется не меньше. Проверим это для любого числа, оканчивающегося на $34$.

Половина делителя — тоже делитель

Пусть число $N$ оканчивается на $34$, а $d$ — его делитель, оканчивающийся на $8$. Число $d$ чётное, поэтому его половина $\frac{d}{2}$ — целое число. И это тоже делитель $N$: если $N=d\cdot q$, то

На какую цифру оканчивается половина? Зачеркнём у $d$ последнюю цифру $8$ — останется число десятков $a$. Тогда $d=10a+8$ и

Число $5a$ оканчивается на $0$, если $a$ чётное, и на $5$, если $a$ нечётное. Поэтому половина оканчивается на $4$ или на $9$. Например, $\frac{28}{2}=14$, а $\frac{78}{2}=39$.

Почему не на 4

Пусть половина $\frac{d}{2}$ оканчивается на $4$. Тогда она чётная: $\frac{d}{2}=2c$, и $d=4c$ делится на $4$. А $N$ делится на $d$ — значит, и $N$ делится на $4$.

Но $N$ на $4$ не делится. Число $N$ — это сколько-то сотен и ещё $34$: $N=100m+34$. Сотни делятся на $4$, ведь $100=4\cdot 25$, а $34=4\cdot 8+2$ на $4$ не делится. Поэтому $N$ даёт остаток $2$ при делении на $4$. Это и есть признак делимости на $4$: смотрят на число из двух последних цифр.

Итак, половина любого делителя на $8$ оканчивается на $9$ и делит $N$. Концовка $34$ нужна именно здесь. У числа $136$, которое делится на $4$, делители на $8$ — это $8$ и $68$. Их половины $4$ и $34$ оканчиваются на $4$, а делителей на $9$ у $136$ нет вовсе (второй рисунок).

Пары и ответ

Поставим в пару каждому делителю $d$ на $8$ его половину $\frac{d}{2}$ — делитель на $9$. У разных делителей половины разные: если $\frac{d_1}{2}=\frac{d_2}{2}$, то $d_1=d_2$. Значит, на каждый делитель на $8$ приходится свой делитель на $9$, и делителей на $9$ не меньше, чем делителей на $8$.

Поэтому такого числа не существует.

На самом деле их всегда поровну. Пусть $k$ — делитель $N$, оканчивающийся на $9$, и $N=k\cdot q$. Число $k$ нечётное, а $N$ чётное. Значит, $q$ чётное: произведение двух нечётных чисел было бы нечётным. Тогда $q=2r$ и

Число $2k$ — делитель $N$, и оно оканчивается на $8$, ведь $2\cdot 9=18$. Каждый делитель на $9$ — половина делителя на $8$, так что пары покрывают обе группы целиком. Поэтому у числа, оканчивающегося на $34$, весы в модели всегда в равновесии.

Второй вариант

Рассуждение то же, меняются цифры. Число $N$ оканчивается на $78$, а $78=4\cdot 19+2$ на $4$ не делится. Поэтому и $N=100m+78$ на $4$ не делится.

Пусть $d$ — делитель $N$, оканчивающийся на $4$, и $N=d\cdot q$. Число $d$ чётное, поэтому его половина $\frac{d}{2}$ — целое число. И это тоже делитель $N$:

Если $d=10a+4$, то

и половина оканчивается на $2$ или на $7$. На $2$ она оканчиваться не может: тогда половина чётная, $d$ делится на $4$, и $N$ делится на $4$. Значит, половина оканчивается на $7$.

Разные делители дают разные половины, поэтому делителей на $7$ не меньше, чем делителей на $4$. Ответ тоже нет.

И здесь их поровну. Пусть $k$ — делитель $N$, оканчивающийся на $7$, и $N=k\cdot q$. Число $k$ нечётное, а $N$ чётное, поэтому $q$ чётное: произведение двух нечётных чисел было бы нечётным. Тогда $q=2r$ и $N=(2k)\cdot r$ — значит, $2k$ тоже делитель $N$, и он оканчивается на $4$, ведь $2\cdot 7=14$. Пример: у $378=2\cdot 27\cdot 7$ делители на $4$ — $14$ и $54$, на $7$ — $7$ и $27$, и $14=2\cdot 7$, $54=2\cdot 27$.