Олимпиада СПб 2024 · Математика · 7 кл., №3

Условие

На олимпиаду пришло $557$ детей. Их как-то рассадили по трём аудиториям (в каждой аудитории есть хотя бы по одному ребенку). В каждой аудитории подсчитали, какой процент от находящихся в ней детей составляют девочки. Сумма трёх полученных чисел оказалась равна $280$ Найдите наименьшее возможное количество девочек среди этих $557$ детей.

Второй вариант этой задачи

На олимпиаде соседи по парте получают разные варианты. Условие второго варианта:

На олимпиаду пришло $490$ детей. Их как-то рассадили по трём аудиториям (в каждой аудитории есть хотя бы по одному ребенку). В каждой аудитории подсчитали, какой процент от находящихся в ней детей составляют мальчики. Сумма трёх полученных чисел оказалась равна $275$ Найдите наименьшее возможное количество мальчиков среди этих $490$ детей.

Его решение и ответ — в последнем шаге разбора.

О задаче · 7 класс

Олимпиада: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике, 91-я (2025)
Этап: I тур (районный)
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Дата: 16 ноября 2024 г.

Сначала реши сам: сколько девочек получится, если рассадить детей поровну, и можно ли обойтись меньшим числом? В модели «Рассади детей по аудиториям» задай, сколько детей в каждой аудитории и сколько среди них девочек: модель точно посчитает три процента и их сумму, отметит каждую подходящую рассадку и запомнит рекорд. Найди рассадку с суммой ровно $280$ и как можно меньшим числом девочек — а потом подумай, почему меньше не получается. Поле ниже проверяет число для первого варианта (условие выше).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРассади детей по аудиториям

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Рассади детей по аудиториям

Задай, сколько детей в каждой из трёх аудиторий и сколько среди них девочек (во 2 варианте — мальчиков), — модель точно посчитает три процента и их сумму. Как рассадить всех детей, чтобы сумма процентов была ровно такой, как в условии, а самих девочек (во 2 варианте — мальчиков) оказалось как можно меньше?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Попробуй на бумаге: рассади 557 детей по трём аудиториям, выбери, сколько в каждой девочек, и посчитай три процента. Сколько девочек получилось? Попробуй сделать их меньше — и подумай, сколько процентов при этом приходится на мальчиков.

Подсказка 1

Каждое из трёх чисел не больше $100$ а их сумма $280$ — почти $300$ Посмотри на тех, кого в условии не считали: сколько процентов вместе приходится на мальчиков? Девочек меньше всего тогда, когда мальчиков больше всего.

Подсказка 2

Проценты мальчиков в трёх аудиториях вместе дают $300-280=20$ В аудитории, где $n$ детей, один процент — это $\dfrac{n}{100}$ ребёнка, поэтому процент мальчиков «весит» больше всего в самой большой аудитории. Сколько детей может быть в одной аудитории, если в двух других хотя бы по одному? Сколько мальчиков самое большее могут дать $20$ процентов — и как этого добиться?

Разобрать решение по шагам

Посмотрим на мальчиков

Всех детей $557$ и девочки — это все, кроме мальчиков. Поэтому девочек меньше всего тогда, когда мальчиков больше всего. Будем искать, сколько может быть мальчиков.

В каждой аудитории девочки и мальчики вместе — это все $100\%$ её детей: если девочек $80\%$ то мальчиков $20\%$ Сложим по трём аудиториям: проценты девочек и проценты мальчиков вместе дают $3\cdot 100=300$ Проценты девочек дают $280$ значит, проценты мальчиков в трёх аудиториях вместе дают

300-280=20.

Зачем так: число $280$ большое и неудобное, а $20$ процентов на три аудитории — мало, с ними легко работать. Рисунок ниже — пример: какими бы ни были три процента девочек с суммой $280$ мальчикам остаётся $20$

Каждая аудитория — полоска в

100\%

розовая часть — девочки, голубая — мальчики. Например,

90+95+95=280

процентов девочек; тогда мальчикам остаётся

10+5+5=20

— из всех трёх полосок,

300

вычли

280

Сколько детей в одном проценте

Если в аудитории $n$ детей, то $1\%$ из них — это $\dfrac{n}{100}$ ребёнка, а $q\%$ — это $\dfrac{q\cdot n}{100}$ Например, $20\%$ от $555$ детей — это

\frac{20\cdot 555}{100}=111,

а $20\%$ от $185$ детей — только $37$

Один и тот же процент даёт тем больше детей, чем больше аудитория. Поэтому мальчиков будет больше всего, если их проценты окажутся в самой большой аудитории.

Сколько в ней может быть детей? В двух других аудиториях хотя бы по одному ребёнку, поэтому в любой аудитории не больше $557-2=555$ детей. Там $1\%$ — это $5{,}55$ ребёнка, и больше в одном проценте не бывает.

Оценка: мальчиков не больше 111

Пусть в аудиториях $n_1$ $n_2$ $n_3$ детей, а мальчиков среди них $q_1\%$ $q_2\%$ $q_3\%$ Тогда мальчиков всего

\frac{q_1 n_1}{100}+\frac{q_2 n_2}{100}+\frac{q_3 n_3}{100}.

Заменим каждое из чисел $n_1$ $n_2$ $n_3$ на $555$ — ни одно слагаемое от этого не уменьшится, ведь $n\le 555$ Получаем, что мальчиков не больше

\frac{(q_1+q_2+q_3)\cdot 555}{100}.

По шагу 1 $q_1+q_2+q_3=20$ поэтому мальчиков не больше

\frac{20\cdot 555}{100}=111,

а девочек не меньше

557-111=446.

Словами: каждый из $20$ процентов мальчиков даёт не больше $5{,}55$ мальчика, всего — не больше $20\cdot 5{,}55=111$

Пример: 446 девочек

Мальчиков будет ровно $111$ если все $20$ процентов мальчиков окажутся в аудитории из $555$ детей. Так и рассадим: в первой и второй аудиториях — по одной девочке, в третьей — остальные $555$ детей, из них $444$ девочки и $111$ мальчиков.

Проверим проценты девочек: в первых двух аудиториях по $100\%$ в третьей

\frac{444}{555}=\frac{4\cdot 111}{5\cdot 111}=\frac{4}{5}=80\%.

Сумма $100+100+80=280$ как в условии, а девочек $1+1+444=446$

Ответ: 446.

Лучшая рассадка: две аудитории по одной девочке (

100\%

) и аудитория из

555

детей. Её

100\%

нарисованы ста клетками, одна клетка —

5{,}55

ребёнка:

80

клеток девочек — это

444

девочки,

20

клеток мальчиков —

111

мальчиков.

Второй вариант

Девочки и мальчики меняются ролями: теперь считаем мальчиков, и меньше всего их тогда, когда больше всего девочек.

Проценты девочек в трёх аудиториях вместе дают $300-275=25$ В аудитории не больше $490-2=488$ детей, там $1\%$ — это $4{,}88$ ребёнка, и ни в какой аудитории в одном проценте больше детей не бывает. Каждый из $25$ процентов девочек даёт не больше $4{,}88$ девочки, поэтому девочек не больше

\frac{25\cdot 488}{100}=122,

а мальчиков не меньше

490-122=368.

Пример. В первой и второй аудиториях — по одному мальчику ( $100\%$ и $100\%$ ), в третьей — остальные $488$ детей: $366$ мальчиков и $122$ девочки. Процент мальчиков в третьей аудитории

\frac{366}{488}=\frac{3\cdot 122}{4\cdot 122}=\frac34=75\%,

сумма $100+100+75=275$ мальчиков $1+1+366=368$

Ответ: 368. Модель переключается на второй вариант кнопкой «2 вариант».

Проверка

Проверка примера: проценты девочек $100\cdot\frac{1}{1}=100$ $100\cdot\frac11=100$ и $100\cdot\frac{444}{555}=80$ , сумма $280$ детей $1+1+555=557$ в каждой аудитории хотя бы один ребёнок; девочек $446$

Другой взгляд на оценку: процент девочек в любой аудитории равен $280$ минус два других процента, а они вместе не больше $200$ Значит, в каждой аудитории не меньше $80\%$ девочек, всего девочек не меньше $80\%$ от $557$ то есть не меньше $445{,}6$ — значит, не меньше $446$

Пример единственный: чтобы мальчиков было ровно $111$ каждая аудитория, где есть мальчики, должна состоять из $555$ детей, а такая аудитория может быть только одна.

Компьютерная проверка: перебраны все рассадки — все размеры аудиторий и все числа девочек в первых двух аудиториях, число девочек в третьей вычисляется из суммы процентов точно, без округления. Подходящих рассадок $28\,037$ наименьшее число девочек — $446$ и оно получается только при аудиториях $1$ $1$ $555$

Ответ

1 вариант. $446$ девочек.

2 вариант. $368$ мальчиков.

Ответ

1 вариант. $446$ девочек.

2 вариант. $368$ мальчиков.

Главная идея

Перейти к мальчикам: их проценты в сумме дают $300-280=20$ Один процент в аудитории из $n$ детей — это $\frac{n}{100}$ ребёнка, а в аудитории не больше $555$ детей, поэтому мальчиков не больше $20\cdot 5{,}55=111$ и девочек не меньше $557-111=446$ ровно $446$ — когда все проценты мальчиков в аудитории из $555$ детей, а две другие — по одной девочке.

Признаки: даны проценты (доли) в нескольких группах разного размера и их сумма, а спрашивают про общее количество. Сумма процентов — это не процент от всех: один процент «весит» столько, сколько в группе людей, делённое на $100$ Ищи, где проценты «дешевле» (маленькие группы) и где «дороже» (большие), и переходи к дополнению, если его проценты в сумме маленькие.

Где легко ошибиться

Решить, что сумма $280$ значит «в среднем $93\frac13\%$ девочек», и считать, что девочек около $93\%$ от $557$ то есть около $520$ Проценты разных аудиторий нельзя складывать как доли от всех детей: в аудитории из одного ребёнка $100\%$ — это всего одна девочка. Другая ошибка — искать минимум только среди рассадок «поровну». Третья — получить оценку $445{,}6$ и не проверить, что $446$ девочек действительно получается.

Источник и авторство

Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике · 91-я олимпиада (2025 год) · I тур (районный), 16 ноября 2024 г. · 7 класс, задача 3. Листки 7 и 8 классов этого тура озаглавлены также «Районный этап Всероссийской олимпиады школьников».

Условия (PDF организатора, первый вариант) ↗ · Листки олимпиады, оба варианта (ZIP организатора) ↗ · Страница олимпиады 2025 года ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие первого варианта — из файла организатора, второй вариант переписан с листка. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Организатор не публикует решений районного тура. Ответы обоих вариантов получены двумя независимыми решениями и совпали; где можно, проверены перебором или вычислением.

На сайте олимпиады: «Распространение представленных материалов разрешается и приветствуется.»

Продолжить тему: Доли, отношения и проценты →

Тема, знания и приёмы

Доли, отношения и проценты · Начальный вход

Процент — сотая часть: q% от n — это q· n/100
Проценты девочек и мальчиков одной аудитории вместе дают 100%
Чтобы найти наименьшее, нужны оценка и пример

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Подсчёт дополнения

Задать вопрос по задаче →