Задача 5. Клин из зеркал

Одно отражение: угол с осью растёт на φ

Зачем: если понять, что делает одно отражение, всю цепочку отражений можно описать одной формулой.

Обозначим через $\psi$ угол между лучом и осью, отсчитанный от направления к узкому концу клина (к вершине, где сошлись бы зеркала). На входе $\psi = \theta = 45^\circ$. Зеркало наклонено к оси на $\varphi/2 = 3^\circ$, причём навстречу лучу: луч, идущий вниз-влево под углом $\psi$ к оси, составляет с нижним зеркалом угол $\psi + \varphi/2$. По закону отражения он уходит от зеркала под тем же углом с другой стороны, то есть под углом $(\psi + \varphi/2) + \varphi/2$ к оси:

С верхним зеркалом всё так же (симметрия). Значит, после $j$ отражений

Пока $\psi < 90^\circ$, луч продвигается к узкому концу; когда $\psi > 90^\circ$, он уже идёт обратно.

а) Два отражения — поворот на 2φ

Зачем: это первый подпункт, и он показывает, как отражения складываются.

Луч входит вниз-влево под углом $\theta$ к оси. После первого отражения (от нижнего зеркала) он идёт вверх-влево под углом $\theta + \varphi$, после второго (от верхнего) — снова вниз-влево, под углом $\theta + 2\varphi$. Направление повернулось на

Это общее правило: два отражения от зеркал, стоящих под углом $\varphi$, — поворот на $2\varphi$, независимо от угла падения.

Где луч поворачивает назад

Зачем: число отражений определяется тем, когда луч развернётся.

Углы после отражений: $51^\circ, 57^\circ, 63^\circ, 69^\circ, 75^\circ, 81^\circ, 87^\circ$ — после седьмого отражения $\psi_7 = 87^\circ = 90^\circ - \varphi/2$. Зеркало наклонено к оси как раз на $\varphi/2 = 3^\circ$, поэтому луч с $\psi = 87^\circ$ падает на следующее зеркало перпендикулярно. Восьмое отражение отправляет его точно назад, по его же пути: дальше он повторяет семь отражений в обратном порядке ($\psi_8 = 93^\circ$, $\psi_9 = 99^\circ$, …, $\psi_{15} = 135^\circ$) и выходит через ту же точку — середину широкой щели.

Но сначала нужно проверить, что клин достаточно длинный и луч до разворота не выскочит через узкую щель. Это удобно сделать развёрткой.

Развёртка: луч — прямая в веере зеркал

Зачем: развёртка проверяет без перебора, дойдёт ли луч до узкой щели, и даёт число отражений как число пересечений.

Продолжения зеркал сходятся в точке $O$ на оси. Расстояния от $O$ до середин щелей:

длина клина $D_b - D_a = \dfrac{b - a}{2\operatorname{tg}\frac{\varphi}{2}} \approx 6{,}97$ см.

Отразим клин в зеркале, о которое ударился луч, затем изображение — в следующем зеркале и так далее: получится веер одинаковых клиньев с вершиной $O$, изображения зеркал идут через каждые $\varphi = 6^\circ$ (под углами $3^\circ, 9^\circ, 15^\circ, \ldots$ от оси). Отражённый луч в изображении — продолжение падающего, поэтому весь путь луча становится прямой из середины широкой щели $S$ под углом $45^\circ$ к $OS$. Каждое изображение зеркала, которое пересекает эта прямая, — одно отражение.

Прямая проходит от $O$ на расстоянии

поэтому до изображений узкой щели она не доходит: луч развернётся раньше и выйдет через широкую щель.

б), в) 15 отражений и поворот на 180°

Зачем: досчитать пересечения и понять, куда смотрит выходящий луч.

Перпендикуляр из $O$ на прямую направлен под углом $90^\circ - \theta = 45^\circ$ к оси, а $45^\circ = 3^\circ + 7\cdot 6^\circ$ — это одно из изображений зеркала (восьмое по счёту): здесь луч и падает на зеркало перпендикулярно. Картинка симметрична относительно этого перпендикуляра, и прямая выходит из веера через середину изображения широкой щели под углом $90^\circ$ от входа. По дороге она пересекает изображения зеркал под углами $3^\circ, 9^\circ, \ldots, 87^\circ$ — их

б) Луч отразится 15 раз (7 по пути к узкому концу, одно перпендикулярное и 7 обратно).

в) Путь симметричен: после перпендикулярного отражения луч проходит свой путь в обратную сторону и выходит из середины широкой щели прямо к лазеру. Направление повернулось на $180^\circ$. Проверка формулой шага 1: $\psi_{15} = 45^\circ + 15\cdot 6^\circ = 135^\circ$ — луч идёт от вершины под углом $45^\circ$ к оси, как входящий, только в обратную сторону.