МОШ по физике 2026/27 · Физика · 10 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Коробка может без трения скользить по горизонтальному столу. Внутри неё на гладком дне лежит груз, прикреплённый пружиной к правой стенке. Пружина не деформирована. Коробке ударом сообщают скорость $v_0$ направленную вправо. Удар груза о левую стенку (если он происходит) мгновенный и абсолютно упругий. Начальный зазор $d_0$ между грузом и левой стенкой указан на рисунке. Груз не касается правой стенки. При $v_0 = v_{01}$ груз не касается стенок, а при $v_0 = v_{02}$ ударяется о левую.

а) (1 балл) Пусть $v_0 = v_{01}$ Найдите максимальное растяжение пружины. Ответ дайте в мм, округлите до целых.

б) (2 балла) При какой наименьшей скорости $v_0$ груз коснётся левой стенки? Ответ дайте в м/с, округлите до сотых.

в) (2 балла) Пусть $v_0 = v_{02}$ Найдите максимальное сжатие пружины после удара груза о левую стенку. Ответ дайте в см, округлите до сотых.

Рисунок к условию

Твои ответы по подпунктам

Засчитываются только значения, которые перечислил организатор, — с округлением, указанным в условии. Каждый подпункт проверяется отдельно. Выбери свой вариант: на странице разобран вариант 1.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Московская олимпиада школьников по физике
Этап: Отборочный этап, первый тур
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2026/27

Сразу после удара коробка едет со скоростью v₀, а груз ещё стоит — он отстаёт, и пружина растягивается. Подумай, что сохраняется: импульс системы и энергия. Удобно смотреть на движение груза относительно коробки. Ответы по подпунктам можно сверить в форме под условием.

Ответы по подпунктам а–в проверяются в форме под условием; засчитываются только значения из списка организатора. Проверка чисел не проверяет рассуждение — сравни его с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКоробка с пружиной

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Коробка с пружиной

Как движется груз внутри коробки после удара и что меняет упругий удар о левую стенку?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: перейди в систему центра масс, замени два тела одним с приведённой массой μ и сравни энергию ½μv₀² с энергией пружины ½kd₀².

Подсказка 1

Перейди в систему центра масс: он движется равномерно со скоростью $\dfrac{Mv_0}{M+m}$ а груз относительно коробки колеблется как одно тело с приведённой массой $\mu = \dfrac{Mm}{M+m}$ на пружине $k$ Начальная скорость этого колебания — $v_0$

Подсказка 2

Энергия относительного движения $\tfrac12\mu v_0^2$ переходит в энергию пружины $\tfrac12 kx^2$ Упругий мгновенный удар о стенку меняет знак относительной скорости, но не энергию — после него пружина сжимается так, будто стенки не было.

Разобрать решение по шагам

Сразу после удара

Зачем: понять, с чего начинается движение и что сохраняется.

Удар по коробке мгновенный, а пружина в этот момент не деформирована — на груз за время удара ничего не действует. Поэтому сразу после удара коробка едет со скоростью $v_0$ груз стоит. Дальше внешние горизонтальные силы на систему «коробка + груз» не действуют (трения нет), значит, её импульс $Mv_0$ сохраняется, а центр масс движется равномерно:

v_\text{цм} = \frac{Mv_0}{M+m}.

Ударов о стенку пока нет, сил трения нет — механическая энергия тоже сохраняется.

Относительное движение — одно тело на пружине

Зачем: вместо двух тел следить за одной координатой — смещением груза относительно коробки.

Пусть $x$ — смещение груза относительно коробки (вправо — сжатие пружины, влево — растяжение). Сила пружины $-kx$ действует на груз, $+kx$ — на коробку, поэтому ускорение груза относительно коробки

\ddot x = -kx\left(\frac1m + \frac1M\right) = -\frac{k}{\mu}x,

\mu = \frac{Mm}{M+m} = \frac{0{,}3\cdot0{,}15}{0{,}45}\ \text{кг} = 0{,}1\ \text{кг}.

Это колебания с $\omega = \sqrt{k/\mu} = \sqrt{1000/0{,}1}\ \text{с}^{-1} = 100\ \text{с}^{-1}$ . Начальная относительная скорость равна $v_0$ (груз отстаёт), а энергия относительного движения

E = \frac{\mu v_0^2}{2} = \frac{\mu \dot x^2}{2} + \frac{kx^2}{2}

сохраняется (это энергия системы за вычетом энергии движения центра масс).

а) Наибольшее растяжение при v₀₁

Зачем: в крайней точке относительная скорость равна нулю — вся энергия $E$ в пружине.

\frac{\mu v_{01}^2}{2} = \frac{kx_\text{max}^2}{2}\ \Rightarrow\ x_\text{max} = \frac{v_{01}}{\omega} = \frac{0{,}5\ \text{м/с}}{100\ \text{с}^{-1}} = 5\ \text{мм}.

$5$ мм меньше зазора $d_0 = 10$ мм — груз действительно не касается стенки, как и сказано в условии.

б) Порог касания левой стенки

Зачем: груз доходит до стенки, если амплитуда относительного движения не меньше зазора.

\begin{aligned}&\frac{v_0}{\omega} \ge d_0\ \Rightarrow\ v_0 \ge \omega d_0\\[0.45em] &= 100\ \text{с}^{-1}\cdot 0{,}01\ \text{м} = 1{,}00\ \text{м/с}.\end{aligned}

При $v_0 = 1{,}00$ м/с груз касается стенки с нулевой относительной скоростью.

в) Удар о стенку и сжатие после него

Зачем: понять, что делает упругий удар с энергией относительного движения.

При $v_{02} = 1{,}25$ м/с груз доходит до стенки, когда пружина растянута на $d_0$ Его относительная скорость в этот момент:

\frac{\mu u^2}{2} = \frac{\mu v_{02}^2}{2} - \frac{kd_0^2}{2}\ \Rightarrow\ u = \sqrt{v_{02}^2 - \omega^2 d_0^2} = \sqrt{1{,}5625 - 1}\ \text{м/с} = 0{,}75\ \text{м/с}.

Удар мгновенный — пружина за это время не успевает измениться, а при абсолютно упругом ударе двух тел их относительная скорость меняет знак: $u \to -u$ (сохраняются и импульс, и кинетическая энергия). Значит, энергия относительного движения $E$ после удара та же, и груз пойдёт вправо, пока вся она не перейдёт в пружину:

\frac{kx^2}{2} = \frac{\mu v_{02}^2}{2}\ \Rightarrow\ x = \frac{v_{02}}{\omega} = 12{,}5\ \text{мм} = 1{,}25\ \text{см}.

То же самое по шагам: $x = \sqrt{d_0^2 + \mu u^2/k} = \sqrt{1 + 0{,}5625}\ \text{см} = 1{,}25$ см.

Энергия относительного движения и парабола

\dfrac{kx^2}{2}

(

x

— сдвиг груза в коробке: вправо — сжатие пружины, влево — растяжение): при

v_{01}

уровень ниже стенки, порог — уровень, касающийся стенки, при

v_{02}

у стенки остаётся

\dfrac{\mu u^2}{2}

и после упругого удара груз доходит до сжатия 12,5 мм.

Положение груза в коробке при

v_{02}

синусоида «отражается» от стенки, удары повторяются; наибольшее сжатие — та же амплитуда

\dfrac{v_{02}}{\omega}

Штрих — как двигался бы груз без стенки.

Скорость груза относительно стола (вопрос вариантов 2 и 3)

Зачем: в вариантах 2 и 3 спрашивают наибольшую скорость груза при $v_{01}$ когда ударов нет.

Скорость груза = скорость центра масс + его скорость относительно центра масс, а последняя составляет долю $\dfrac{M}{M+m}$ от скорости относительно коробки. Относительная скорость меняется от $-v_0$ до $+v_0$ поэтому

v_\text{гр} = \frac{Mv_0}{M+m}\,(1 - \cos\omega t),\qquad v_\text{гр,max} = \frac{2Mv_{01}}{M+m}

— в момент, когда пружина, растянувшись, снова становится недеформированной. В варианте 1 это было бы $2\cdot0{,}3\cdot0{,}5/0{,}45 \approx 0{,}67$ м/с.

Проверка

Проверка: численное интегрирование движения коробки и груза (шаг $20$ нс, мгновенный упругий удар двух тел) даёт те же $5$ мм, $1{,}00$ м/с и $1{,}25$ см; импульс системы сохраняется с точностью счёта, энергия — до $10^{-5}$ при $v_0$ на $0{,}5\,\%$ меньше порога ударов нет, на $0{,}5\,\%$ больше — есть (checks/rules/p10q1-3-box.test.mjs). Размерность: $\sqrt{\mu/k}$ — в секундах, $v_0\sqrt{\mu/k}$ — в метрах. Предельные случаи: при $M \gg m$ имеем $\mu \to m$ — коробка почти не реагирует на пружину; при $M \ll m$ имеем $\mu \to M$ и груз почти не отстаёт.

Другие варианты (вопросы другие). Вариант 2 ( $M = 150$ г, $m = 300$ г, $k = 2250$ Н/м, $d_0 = 1$ см): $\mu = 0{,}1$ кг, $\omega = 150\ \text{с}^{-1}$ ; а) порог $\omega d_0 = 1{,}50$ м/с; б) при $v_{01} = 1{,}2$ м/с (амплитуда $8$ мм, удара нет) наибольшая скорость груза $2\cdot0{,}15\cdot1{,}2/0{,}45 = 0{,}80$ м/с; в) сжатие $v_{02}/\omega = 2{,}5/150$ м $= 1{,}67$ см. Вариант 3 ( $M = 600$ г, $m = 300$ г, $k = 2000$ Н/м, $d_0 = 0{,}6$ см): $\mu = 0{,}2$ кг, $\omega = 100\ \text{с}^{-1}$ ; а) при $v_{01} = 0{,}4$ м/с (амплитуда $4$ мм $< 6$ мм) наибольшая скорость груза $2\cdot0{,}6\cdot0{,}4/0{,}9 \approx 0{,}53$ м/с; б) порог $100\cdot0{,}006 = 0{,}60$ м/с; в) сжатие $1{,}0/100$ м $= 1{,}00$ см.

Ответ

а) $5$ мм; б) $1{,}00$ м/с; в) $1{,}25$ см.

Ответ

а) $5$ мм; б) $1{,}00$ м/с; в) $1{,}25$ см.

Главная идея

В системе центра масс два тела превращаются в одно — с приведённой массой μ = Mm/(M + m) на пружине; его начальная скорость v₀. Упругий удар о стенку лишь меняет знак относительной скорости, энергия остаётся, поэтому сжатие после удара равно v₀₂/ω.

Два тела, связанные пружиной, без внешних сил — центр масс едет равномерно, относительное движение — колебания с ω = √(k/μ). Упругий мгновенный удар между этими же телами — отражение относительной скорости.

Где легко ошибиться

Считать, что груз сразу получает скорость (а он стоит) или что колеблется груз массы m на пружине (а масса — приведённая); думать, что при ударе о стенку энергия колебаний теряется или «пружина начинает с нуля»; путать скорость груза относительно коробки и относительно стола.

Источник и авторство

88-я Московская олимпиада школьников по физике · 10 класс · 2026/27 · отборочный этап, первый тур (15–22.10.2026). Задача 3, вариант 1 — разобран на странице; вариант 2 и вариант 3 можно выбрать в модели и в проверке ответов.

Условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Ответы (PDF организатора) ↗ · Публикация заданий на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Официальные ответы были известны до записи авторского решения; затем все подпункты всех 3 вариантов совпадают с ответами организатора. Полных решений организатор не публиковал. Таблицы принимаемых ответов организатора были прочитаны вместе с условиями до решения; полных официальных решений в источнике нет.

Продолжить тему: Механические колебания →

Тема, знания и приёмы

Механические колебания · Начальный вход

Закон сохранения импульса и энергии
Гармонические колебания груза на пружине
Упругий удар двух тел

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Закон сохранения энергии · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →