МОШ по физике 2026/27 · Физика · 10 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

На гладком горизонтальном столе покоится длинная доска, у её концов лежат две маленькие шайбы. Массы доски и шайб одинаковы. В некоторый момент шайбам одновременно сообщают скорости, направленные вдоль доски навстречу друг другу. Коэффициенты трения скольжения левой (1) и правой (2) шайб о доску указаны на рисунке. Трения покоя достаточно, чтобы после прекращения скольжения шайба двигалась вместе с доской. Все тела движутся поступательно, шайбы не опрокидываются, не покидают доску и не сталкиваются. Размерами шайб можно пренебречь.

а) (1 балл) Найдите модуль ускорения доски, пока обе шайбы скользят по ней. Ответ дайте в м/с $^2$ округлите до десятых.

б) (1 балл) Через некоторое время правая шайба перестаёт проскальзывать по доске. Найдите модуль скорости доски в этот момент. Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.

в) (2 балла) На какое расстояние сместится доска относительно стола за всё время движения? Ответ дайте в метрах, округлите до сотых.

г) (1 балл) Через какое время после начала движения все тела остановятся? Ответ дайте в секундах, округлите до десятых.

Рисунок к условию

Твои ответы по подпунктам

Засчитываются только значения, которые перечислил организатор, — с округлением, указанным в условии. Каждый подпункт проверяется отдельно. Выбери свой вариант: на странице разобран вариант 1.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Московская олимпиада школьников по физике
Этап: Отборочный этап, первый тур
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2026/27

Нарисуй силы трения, которые действуют на каждую шайбу и на доску, и раздели движение на этапы: пока скользят обе шайбы и после того, как одна из них перестанет скользить. Ответы по подпунктам можно сверить в форме под условием.

Ответы по подпунктам а–г проверяются в форме под условием; засчитываются только значения из списка организатора. Проверка чисел не проверяет рассуждение — сравни его с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДоска на гладком столе

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Доска на гладком столе

Куда поедет доска, когда шайбы заскользят навстречу друг другу, и почему все тела останавливаются одновременно?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: нарисуй силы трения на каждую шайбу и на доску в первой фазе и посчитай ускорения; затем вспомни, чему равен суммарный импульс.

Подсказка 1

Пока обе шайбы скользят, на доску действуют две силы трения в разные стороны: $\mu_1 mg$ и $\mu_2 mg$ Они не равны — доска поедет в сторону большей силы.

Подсказка 2

Стол гладкий, поэтому суммарный импульс трёх тел сохраняется. В начале он равен $mv_0 - mv_0 = 0$ Какой будет общая скорость, когда скольжение прекратится?

Разобрать решение по шагам

а) Силы трения, пока скользят обе шайбы

Зачем: ускорение каждого тела даёт второй закон Ньютона, а для этого нужны силы. Ось $x$ направим вправо, $g = 10$ м/с $^2$

Левая шайба едет вправо относительно доски, трение на неё направлено влево: $a_1 = -\mu_1 g = -2{,}5$ м/с $^2$ Правая шайба едет влево относительно доски, трение на неё — вправо: $a_2 = +\mu_2 g = +5$ м/с $^2$

По третьему закону Ньютона шайбы действуют на доску силами $+\mu_1 mg$ (вправо) и $-\mu_2 mg$ (влево). Масса доски $m$

a_\text{д} = (\mu_1 - \mu_2)\,g = (0{,}25 - 0{,}5)\cdot 10 = -2{,}5\ \text{м/с}^2.

Модуль ускорения доски $2{,}5$ м/с $^2$ доска разгоняется влево — в сторону большей силы трения.

Силы трения в двух фазах (в долях mg): оранжевые — на шайбы, синие — на доску; каждая стрелка начинается в месте контакта шайбы и доски (шайбы нарисованы чуть выше доски, чтобы были видны обе силы пары). Сначала на доску действуют две разные силы в разные стороны, потом — только трение левой шайбы.

б) Когда правая шайба перестанет скользить

Зачем: скольжение прекращается, когда скорости шайбы и доски сравниваются, — после этого движение идёт по-другому.

Скорость правой шайбы $v_2 = -1{,}5 + 5t$ скорость доски $v_\text{д} = -2{,}5t$ (м/с, $t$ в секундах). Они равны при

\begin{aligned}&-1{,}5 + 5t_1 = -2{,}5t_1\\[0.45em] &\Rightarrow\ t_1 = \frac{1{,}5}{7{,}5} = 0{,}2\ \text{с},\end{aligned}

v_\text{д}(t_1) = -2{,}5\cdot 0{,}2 = -0{,}5\ \text{м/с}.

Модуль скорости доски в этот момент $0{,}5$ м/с. Левая шайба к этому времени тормозится до $v_1 = 1{,}5 - 2{,}5\cdot 0{,}2 = 1{,}0$ м/с — она ещё скользит.

Вторая фаза: доска едет вместе с правой шайбой

Зачем: после $t_1$ правая шайба и доска — одно тело массой $2m$ и на него действует только трение левой шайбы.

a = \frac{\mu_1 mg}{2m} = \frac{2{,}5}{2} = 1{,}25\ \text{м/с}^2\ \text{(вправо)}.

Проверим, что правая шайба действительно не скользит: чтобы ехать с доской, ей нужна сила $m\cdot 1{,}25$ а трение покоя может дать до $\mu_2 mg = m\cdot 5$ — хватает. Левая шайба по-прежнему тормозится с ускорением $-2{,}5$ м/с $^2$

г) Когда всё остановится

Зачем: найти конец движения проще всего через импульс, а не через ещё одно уравнение.

Внешние горизонтальные силы отсутствуют (стол гладкий), поэтому суммарный импульс сохраняется и всё время равен начальному: $mv_0 - mv_0 = 0$ Когда левая шайба перестанет скользить, все три тела поедут с одной скоростью $u$ и $3mu = 0$ — значит, $u = 0$ все остановятся одновременно.

Левая шайба всё время скользит и тормозится с ускорением $\mu_1 g$ пока не остановится:

t = \frac{v_0}{\mu_1 g} = \frac{1{,}5}{2{,}5} = 0{,}6\ \text{с}.

То же из второй фазы: $1{,}0 - 2{,}5\tau = -0{,}5 + 1{,}25\tau$ даёт $\tau = 0{,}4$ с и общую скорость $0$ всего $0{,}2 + 0{,}4 = 0{,}6$ с.

в) Смещение доски

Зачем: перемещение — площадь под графиком скорости, а график скорости доски — две прямые.

Скорость доски растёт по модулю от $0$ до $0{,}5$ м/с (влево) за $0{,}2$ с и затем убывает до $0$ к $0{,}6$ с. Под графиком — треугольник:

|\Delta x_\text{д}| = \frac12\cdot 0{,}6\ \text{с}\cdot 0{,}5\ \text{м/с} = 0{,}15\ \text{м}.

По фазам: $-\tfrac12\cdot 2{,}5\cdot 0{,}2^2 = -0{,}05$ м и $-0{,}5\cdot 0{,}4 + \tfrac12\cdot 1{,}25\cdot 0{,}4^2 = -0{,}1$ м, всего $-0{,}15$ м. Доска сместится на $0{,}15$ м влево.

Скорости трёх тел. Синяя площадь под графиком доски — её смещение: ½ · 0,6 · 0,5 = 0,15 м.

Проверка

Проверка энергией: скольжение превращает в тепло всю начальную кинетическую энергию $2\cdot\tfrac12 mv_0^2 = mv_0^2$ . Шайбы проскальзывают по доске на $s_1 = 0{,}6$ м и $s_2 = 0{,}15$ м, и $\mu_1 mg s_1 + \mu_2 mg s_2 = m(1{,}5 + 0{,}75) = m\cdot 2{,}25 = mv_0^2$ . Отсюда же видно, какая доска «достаточно длинная»: шайбы сблизятся на $s_1 + s_2 = 0{,}75$ м. Независимая проверка — пошаговый расчёт с шагом $2$ мкс (checks/rules/p10q1-2-board.test.mjs) — даёт те же числа.

Общие формулы: $a = (\mu_2 - \mu_1)g$ $t_1 = \dfrac{v_0}{(2\mu_2 - \mu_1)g}$ , $v_\text{д} = a t_1$ $t = \dfrac{v_0}{\mu_1 g}$ смещение $\dfrac12 t\, v_\text{д}$

Другие варианты (вопросы те же): вариант 2 ( $\mu_1 = 0{,}2$ $\mu_2 = 0{,}4$ $v_0 = 1{,}8$ м/с) — а) $2{,}0$ м/с $^2$ б) $t_1 = 0{,}3$ с, $0{,}6$ м/с; в) $\tfrac12\cdot 0{,}9\cdot 0{,}6 = 0{,}27$ м; г) $0{,}9$ с. Вариант 3 ( $\mu_1 = 0{,}15$ $\mu_2 = 0{,}3$ $v_0 = 2{,}4$ м/с) — а) $1{,}5$ м/с $^2$ б) $t_1 = 0{,}53$ с, $0{,}8$ м/с; в) $\tfrac12\cdot 1{,}6\cdot 0{,}8 = 0{,}64$ м; г) $1{,}6$ с.

Ответ

а) $2{,}5$ м/с $^2$ б) $0{,}5$ м/с; в) $0{,}15$ м; г) $0{,}6$ с.

Ответ

а) $2{,}5$ м/с $^2$ б) $0{,}5$ м/с; в) $0{,}15$ м; г) $0{,}6$ с.

Главная идея

Две разные силы трения тянут доску в разные стороны — она разгоняется к шайбе с большим трением. Суммарный импульс нулевой, поэтому все тела останавливаются одновременно, а смещение доски — площадь треугольника под её графиком скорости.

Несколько тел скользят друг по другу на гладкой опоре — разбей движение на фазы по моментам, когда скольжение прекращается, и проверь сохранение импульса системы.

Где легко ошибиться

Считать, что доска стоит, раз шайбы «тянут её в разные стороны»; оставить на правую шайбу силу μ₂mg после того, как она перестала скользить (там трение покоя); считать смещение доски как |v|·t; искать момент остановки отдельно для каждого тела, не заметив, что импульс нулевой.

Источник и авторство

88-я Московская олимпиада школьников по физике · 10 класс · 2026/27 · отборочный этап, первый тур (15–22.10.2026). Задача 2, вариант 1 — разобран на странице; вариант 2 и вариант 3 можно выбрать в модели и в проверке ответов.

Условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Ответы (PDF организатора) ↗ · Публикация заданий на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Официальные ответы были известны до записи авторского решения; затем все подпункты всех 3 вариантов совпадают с ответами организатора. Полных решений организатор не публиковал. Таблицы принимаемых ответов организатора были прочитаны вместе с условиями до решения; полных официальных решений в источнике нет.

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Второй и третий законы Ньютона
Трение скольжения и трение покоя
Закон сохранения импульса
Перемещение как площадь под графиком скорости

Приёмы решения: Уравнение сил · Закон сохранения импульса

Задать вопрос по задаче →