Задача 1. Стержень

Числа рисунка и оси

Зачем: дальше все величины считаются в проекциях, и удобно, что числа рисунка «круглые».

Ось $x$ — вдоль стержня от $A$ к $B$, ось $y$ — вверх. $L = 1{,}73\ \text{м} \approx \sqrt3$ м, $v_A = 3{,}46\ \text{м/с} \approx 2\sqrt3$ м/с (шапка условия предлагает $\sqrt3 \approx 1{,}73$). Скорость $\vec v_A$ направлена под $30^\circ$ к стержню вверх-вправо, скорость $\vec v_B$ — вдоль прямой $B$, под $30^\circ$ вниз-вправо:

Скорость конца B: проекции на стержень равны

Зачем: модуль $v_B$ на рисунке не указан — его даёт жёсткость стержня.

Если бы проекции скоростей концов на стержень различались, расстояние $AB$ менялось бы. Значит,

а) Скорость середины C

Зачем: середина жёсткого стержня движется со средней скоростью концов (её координаты — полусумма координат $A$ и $B$).

Скорость $C$ направлена вдоль стержня: поперечные составляющие концов одинаковы по модулю и противоположны.

б) Угловая скорость

Зачем: поперёк стержня концы движутся по-разному — это и есть вращение.

Относительно $A$ точка $B$ движется по окружности радиуса $L$, поэтому разность поперечных составляющих скоростей равна $\omega L$:

$A$ идёт вверх, $B$ — вниз: стержень поворачивается по часовой стрелке. Проверка через мгновенный центр скоростей: перпендикуляры к $\vec v_A$ в точке $A$ и к $\vec v_B$ в точке $B$ пересекаются под серединой на расстоянии $1{,}5$ м от $C$, и $v_C = \omega\cdot 1{,}5\ \text{м} = 3$ м/с.

г) Ускорение конца B

Зачем: направление $\vec a_B$ известно (вдоль прямой $B$ — конец не сходит с неё), не хватает одного числа — его даёт движение $B$ вокруг $A$.

Скорость $A$ постоянна, $\vec a_A = 0$, и система отсчёта, связанная с $A$, — инерциальная. В ней $B$ движется по окружности радиуса $L$ с угловой скоростью $\omega$; у такого движения составляющая ускорения вдоль радиуса — центростремительная, $\omega^2L$, к центру $A$ (касательная составляющая перпендикулярна стержню и неизвестна). Поэтому проекция $\vec a_B$ на стержень

$\vec a_B$ направлено вдоль прямой $B$, то есть под $30^\circ$ к стержню, — вверх-влево (знак «−»):

(Модуль проекции на стержень, $6{,}92 \approx 6{,}9$ м/с², спрашивают в варианте 3.)

в) Нормальное ускорение середины

Зачем: нормальное ускорение — часть $\vec a_C$, перпендикулярная скорости $\vec v_C$; скорость мы уже знаем.

Как и скорость, ускорение середины — полусумма ускорений концов:

$\vec v_C$ направлена по оси $x$, значит, нормальная часть — это $y$-составляющая, касательная — $x$-составляющая:

Касательная часть направлена против $\vec v_C$ — точка $C$ тормозит. Радиус кривизны пути $C$ в этот момент $v_C^2/a_n = 9/2 = 4{,}5$ м.